Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(gt< =>\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}-\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\right)=0\)
\(< =>\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}\right)=0\)
\(< =>\frac{3x^2}{10}+\frac{2y^2}{10}+\frac{z^2}{20}=0\)
tổng 3 số không âm <=> chúng đều=0
<=>x=y=z=0
Vậy x=y=z=0
\(pt\Leftrightarrow\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}-\frac{x^2+y^2+z^2}{5}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)
Ta thấy \(VT\ge0\forall x;y;z\) nên để dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}=0.\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)(1)
Vế phải của (1) >= 0 với mọi x;y;z. Dấu "=" chỉ xảy ra khi x=y=z=0
Vậy nghiệm của đề bài là x=y=z=0.
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}-\frac{x^2+y^2+z^2}{5}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2=z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=0\)
Vậy...
lm tốt nhé!!!!
Cái đề thiếu x, y, z dương bạn nhé
Với mọi x, y, z > 0 ta luôn có
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2y\right)+\left(y^3-xy^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự \(y^3+z^3\ge y^2z+yz^2\) (2) và \(z^3+x^3\ge z^2x+zx^2\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\le2\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
\(VT=\frac{x^6}{x^3+x^2y+xy^2}+\frac{y^6}{y^3+y^2z+yz^2}+\frac{z^6}{z^3+z^2x+zx^2}\)
\(\ge\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{\left(x^3+y^3+z^3\right)+\left(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\right)}\ge\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{\left(x^3+y^3+z^3\right)+2\left(x^3+y^3+z^3\right)}\)
\(=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{3\left(x^3+y^3+z^3\right)}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}-\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{5}-\frac{z^2}{5}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+y^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+z^2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=0\)
Mà \(x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+y^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+z^2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)\ge0\)
Xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=0\\y^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=0\\z^2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x=y=z=0\)