Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\)
\(=1-3ab+3ab\left[1-2ab\right]+6a^2b^2\)
\(=1-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2\)
=1
\(\Leftrightarrow\frac{4a}{4a+3bc}+\frac{4b}{4b+3ac}+\frac{4c}{4c+3ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{4a+3bc}+\frac{ac}{4b+3ac}+\frac{ab}{4c+3ab}\ge\frac{1}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\frac{b^2c^2}{4abc+3b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{4abc+3a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{4abc+3a^2b^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+12abc}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a+b+c\right)abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}\)
\(VT\ge\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Ta có : \(6a^2+ab=25b^2\)
Vì a,b > 0 nên chia cả hai vế cho a2 được : \(6+\frac{b}{a}=\frac{25b^2}{a^2}\)
Đặt \(t=\frac{b}{a}\) thì ta có \(25t^2-t-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1+\sqrt{601}}{50}\\t=\frac{1-\sqrt{601}}{50}\end{cases}}\)
Tới đây bạn suy ra tỉ số giữa a và b rồi thay vào tính M nhé!
Ta có: \(M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\cdot\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow M=a^2-ab+b^2+3ab\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow M=a^2-ab+b^2+3ab\cdot\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow M=a^2-ab+3ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow M=\left(a+b\right)^2=1^2=1\)
Vậy: Khi a+b=1 thì M=1
M=(a+b)^3-3ab(a+b)+3ab[(a+b)^2-2ab]+6a^2b^2
=1-3ab+3ab(1-2ab)+6a^2b^2
=1
\(M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\)
\(=1-3ab+3ab\cdot\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\)
\(=1-3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1-3ab\)
\(M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\left(a+b\right)\\ M=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\\ M=1-3ab+3ab\left(a^2+b^2+2ab\right)=1-3ab+3ab\left(a+b\right)^2\\ M=1-3ab+3ab=1\)
a) Ta viết lại : 6a > 3a ↔ 6.a > 3.a
tức là , bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế bất đẳng thức đúng 6 > 3 với a
Vậy , từ sự cùng chiều của 2 bất đẳng thức suy ra a > 0
b) Ta viết lại : a \(\leq\) \(\frac{a}{2}\) ↔ \(1.a\le\frac{1}{2}a\)
tức là , bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả 2 vế của bất đẳng thức đúng 1 > \(\frac{1}{2}\) với a .
Vậy , từ sự ngước chiều của 2 bất đẳng thức suy ra a \(\leq\) 0