Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(4xy\le\left(x+y\right)^2\), cho ta
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(1-x\right)\left(1-z\right)\cdot\left(1-y\right)\)
\(\le\left(1-x+1-z\right)^2\cdot\left(1-y\right)=\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\)
\(\le1+y=x+2y+z.\)
BĐT đã cho <=> 1 + y \(\ge\) 4.(1 - x).(1 - y).(1 - z)
Áp dụng BĐT : 4ab \(\le\) (a + b)2 ta có: 4.(1 - x)(1 - z) \(\le\) (1 - x + 1 - z)2 = (1 + y)2
=> 4.(1 - x)(1 - y)(1 - z) \(\le\) (1 + y)2.(1 - y) = (1 + y).(1 -y2) \(\le\) (1 + y) .1 = 1+ y => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi 1 - y2 = 1 và x = z => y = 0 ; x = z = 1/2
Ta có: \(x+y+z=1\) nên:
\(\Rightarrow y+z=1-x\)
Thay \(y+z=1-x\) và áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ta được:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y=x+2y+z\left(đpcm\right)\)
Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học