Question

[đoàn danh dũng]

Giải phương trình : \(\frac{2004x}{2x^2+x+1}+\frac{2005x}{2x^2+2x+1}=902\)

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Với giả sử rằng  \(x\ne0\)  thì ta biến đổi phương trình đã cho dưới dạng:

\(\frac{2004}{2x+1+\frac{1}{x}}+\frac{2005}{2x+2+\frac{1}{x}}=902\)  \(\left(1\right)\)

Đặt  \(2x+\frac{1}{x}+1=t\)  \(\left(2\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(2x+\frac{1}{x}+2=t+1\) thì phương trình  \(\left(1\right)\)  trở thành:

\(\frac{2004}{t}+\frac{2005}{t+1}=902\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2004\left(t+1\right)+2005t}{t\left(t+1\right)}=902\)

Khử mẫu ở hai vế của phương trình trên, ta được:

\(2004\left(t+1\right)+2005t=902t\left(t+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2004t+2004+2005t=902t^2+902t\)

\(\Leftrightarrow\)  \(902t^2-3107t-2004=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(t-4\right)\left(902t+501\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(t=4\)  hoặc  \(t=-\frac{501}{902}\)

\(\text{*)}\)  Với  \(t=4\)  thì  từ  \(\left(2\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(2x+\frac{1}{x}+1=4\)  \(\Leftrightarrow\)  \(2x+\frac{1}{x}=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(2x^2+1=3x\)  (do  \(x\ne0\))

\(\Leftrightarrow\)  \(2x^2-3x+1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=1\)  hoặc  \(x=\frac{1}{2}\)  (thỏa mãn)

\(\text{*)}\)  Với  \(t=-\frac{501}{902}\)  thì  từ  \(\left(2\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(2x+\frac{1}{x}+1=-\frac{501}{902}\)  (vô nghiệm)

Vậy, tập nghiệm của phương trình   \(\left(1\right)\)  là   \(S=\left\{1;\frac{1}{2}\right\}\)