Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b+c=\frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c}=9\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=9\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+1+1+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 3 (do abc = 27)
....
Đặt \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) ; \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)
Ta có : \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)
Xét tử số của P : \(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)=ab\left[-\left(b-c\right)-\left(c-a\right)\right]+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-ab\left(b-c\right)-ab\left(c-a\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=b\left(b-c\right)\left(c-a\right)+a\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}\)
Lại có : \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\). Đặt \(a-b=x\); \(b-c=y\); \(c-a=z\)
Suy ra được : \(\hept{\begin{cases}x-y=a-b-b+c=a+c-2b=-3b\\y-z=b-c-c+a=a+b-2c=-3c\\z-x=c-a+b-a=b+c-2a=-3a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-\frac{\left(x-y\right)}{3}\\c=-\frac{\left(y-z\right)}{3}\\a=-\frac{\left(z-x\right)}{3}\end{cases}}}\)
Ta có : \(Q=\frac{-\left(\frac{y-z}{3}\right)}{x}+\frac{-\left(\frac{z-x}{3}\right)}{y}+\frac{-\left(\frac{x-y}{3}\right)}{z}=-\frac{1}{3}.\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\right)\)
\(=-\frac{1}{3}\left(\frac{yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)+yx\left(x-y\right)}{xyz}\right)\)
Đến đây rút gọn tương tự với P được: \(Q=\frac{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(z-y\right)}{3xyz}=\frac{\left(3a\right).\left(-3b\right).\left(3c\right)}{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\Rightarrow Q=\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Vậy : \(PQ=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}.\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=9\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
\(\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
=> đpcm
b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)
=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)
Xét : \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)=-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) luôn chia hết cho 3
nứng cút
bạn lê mạnh quân ko trả lời thì bạn đừng chửi nhé
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.