Question

[Trịnh Hoàng Đông Giang]

CMR vs n lẻ

n¹²-n⁸-n⁴+1 chia het cho 512

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Ta có:  Vì  \(n\)  là số lẻ (theo giả thiết) nên  \(n\)  sẽ có dạng  \(2k+1\)

Các bước biến đổi:

\(n^{12}-n^8-n^4+1=n^8\left(n^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\)

                                       \(=\left(n^4-1\right)\left(n^8-1\right)\)

                                       \(=\left(n^4-1\right)^2\left(n^4+1\right)\)

\(n^{12}-n^8-n^4+1=\left(n^2-1\right)^2\left(n^2+1\right)^2\left(n^4+1\right)\)

Khi đó, ta xét  \(\left(n^2-1\right)^2\)  với  \(n=2k+1\)  thì  \(\left(n^2-1\right)^2\)  sẽ trở thành:  

\(\left(n^2-1\right)^2=\left(n-1\right)^2\left(n+1\right)^2=\left(2k+1-1\right)^2\left(2k+1+1\right)^2=4k^2\left(2k+2\right)^2=16k^2\left(k+1\right)^2=16\left[k\left(k+1\right)\right]^2\)

chia hết cho  \(16\)

Lại có:  \(k\left(k+1\right)\)  chia hết cho  \(2\)  (vì là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên  \(\left[k\left(k+1\right)\right]^2\)   chia hết cho  \(4\)

Do đó,  \(\left(n^2-1\right)^2\)  chia hết cho  \(16.4=64\)  \(\left(1'\right)\)

Mặt khác,  với  \(n=2k+1\)  \(\Rightarrow\)  \(\left(n^2+1\right)^2\)  và  \(n^4+1\)  lần lượt là các số chẵn

nên  \(\left(n^2+1\right)^2\)  chia hết cho  \(2^2=4\)   \(\left(2'\right)\)

   và   \(n^4+1\)  chia hết cho  \(2\)   \(\left(3'\right)\)

Từ  \(\left(1'\right);\)  \(\left(2'\right)\)  và  \(\left(3'\right)\)  suy ra  \(n^{12}-n^8-n^4+1\)  chia hết cho \(512\)