Với \(x=0\) thì pt thành \(y^2=66\), vô lí.

Với \(x\ge1\) thì ta thấy \(y\) lẻ.

pt \(\Leftrightarrow2^x+64=y^2-1\) 

\(\Leftrightarrow2^x+64=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\) (*)

Đặt \(y=2z+1\left(z\inℕ\right)\). Khi đó 

(*) \(\Leftrightarrow2^x+64=2z\left(2z+2\right)\)

\(\Leftrightarrow2^{x-2}+16=z\left(z+1\right)\)    (1)

Nếu \(x=2\) thì VT lẻ, VP chẵn, vô lý.

Nếu \(x=6\) thì (1) thành \(32=z\left(z+1\right)\), vô lý.

Nếu \(x\ge7\) thì (1) thành \(2^4\left(2^{x-6}+1\right)=z\left(z+1\right)\) 

Bởi \(gcd\left(2^4,2^{x-6}+1\right)=gcd\left(z,z+1\right)=1\) nên từ đây

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}z⋮16\\z\equiv-1\left[16\right]\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}16⋮z\\2^{x-6}+1⋮z\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=16\\\left\{{}\begin{matrix}z+1⋮16\\z^{x-6}+1⋮z\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

TH1: \(z=16\Rightarrow2^{x-6}=2^4\Leftrightarrow x=10\Leftrightarrow y=33\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}z+1⋮16\\2^{x-6}+1⋮z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z\equiv-1\left[16\right]\\2^{x-6}+1⋮z\end{matrix}\right.\). Lại có \(16\left(2^{x-6}+1\right)⋮z+1\)

và \(\left(2^{x-6}+1\right)< z\left(z+1\right)\), đồng thời để ý rằng \(gcd\left(z,z+1\right)=1\) nên từ đó suy ra \(16⋮z+1\) (vì nếu không thì \(2^{x-6}+1⋮x\left(x+1\right)\), vô lí vì \(2^{x-6}+1< x\left(x+1\right)\))

 \(z+1=16\Rightarrow z=15\) \(\Rightarrow2^{x-6}+1=15\), vô lý.

 Nếu \(x\le5\) thì \(x\in\left\{3,4,5\right\}\). Thử lại, ta thấy \(x=4\) thỏa mãn \(\Rightarrow y=9\)

 Do đó pt đã cho có các nghiệm tự nhiên là \(\left(4,9\right),\left(10,33\right)\)

tui mới lớp 5 làm sao làm đc?

Lời giải:

$A=x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy$

$=1-3xy+xy=1-2xy=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^2+\frac{1}{4}\geq x$

$y^2+\frac{1}{4}\geq y$

$\Rightarrow A=x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

Đó là kí hiệu tích nhé bạn.

VD1: Cho n số thực \(a_1,a_2,...,a_n\) thì kí hiệu: 

\(\prod\limits^n_{i=1}a_i=a_1.a_2...a_n\)

VD2: Cho n số thực dương \(a_1,a_2,...,a_n\). Khi đó ta có bất đẳng thức Cô-si nổi tiếng:

 \(\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)

 Sử dụng kí hiệu, ta có thể viết lại BĐT này như sau:

 \(\dfrac{\sum\limits^n_{i=1}a_i}{n}\ge\sqrt[n]{\prod\limits^n_{i=1}a_i}\). Ta thấy kí hiệu \(\prod\) xuất hiện ở vế phải làm cho BĐT trở nên gọn gàng hơn rất nhiều.

Là số 2

\(\infty\) là vô hạn hoặc số 8 viết ngang.

Cho 1 like nhé bạn

\(\text{∞}\) là dấu kí hiệu vô cực trong toán học.