a/

\(sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAD-sđcungBE\right)\) (góc có đỉnh ngoài hình tròn)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđcungAD-\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (1)

Ta có

\(sđ\widehat{AOD}=sđcungAD\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđcungAD=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}\) (2)

Ta có

BC = OB = R => tg BOC cân tại B \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{BOE}\) (góc ở đáy tg cân)

\(sđ\widehat{BOE}=sđcungBE\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{BOE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}-\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow2.sđ\widehat{ACO}=sđ\widehat{AOD}-sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow sđ\widehat{AOD}=3.sđ\widehat{ACO}\)

b/

Ta có

AB = R = OA = OB => tg OAB là tg đều

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}=180^o-\widehat{OBA}=180^o-60^o=120^o\)

Xét tg cân BOC có

\(\widehat{BCO}+\widehat{BOC}=180^o-\widehat{OBC}=180^o-120^o=60^o\)

Mà \(\widehat{BCO}=\widehat{BOC}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{BOC}=30^o\)

Xét tg AOC có

\(\widehat{AOC}=180^o-\left(\widehat{OAB}+\widehat{BOC}\right)=180^o-\left(60^o+30^o\right)=90^o\)

=> tg AOC vuông tại O

AC = AB + BC = 2R

\(\Rightarrow CO=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Theo đề có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{HD}{BH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{A{D}^2}{A{B}^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4^2}{6^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{9}$

Tam giác HDC ∼ tam giác HBA nên: 

$\genfrac{}{}{0ex}{}{DC}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{HD}{BH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{9}\Rightarrow DC=AB.\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{9}=6.\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\left(cm\right)$

Từ C kẻ CK là đường cao của tam giác ABC có: $KB=AB-DC=6-\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\left(cm\right)$

$\Rightarrow BC=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{244}}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{61}}{3}\left(cm\right)$

Xét tam giác vuông ABD có $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)$

.