=>a<\(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+...+\(\dfrac{1}{99.100}\)

=>a<1-\(\dfrac{1}{100}\)<\(\dfrac{3}{4}\)

=>a<\(\dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\\ =\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\\ \dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\\ \dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\\ \dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{49}{100}< \dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{2}\) 

Vì \(\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+\dfrac{1}{6.6}+...+\dfrac{1}{100.100}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

Vậy biểu thức \(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{2}\)

1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + ... + 1/100²

< 1/(2.3) + 1/(3.4) + 1/(4.5) + 1/(5.6) + ... + 1/(99.100)

= 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/99 - 1/100

= 1/2 - 1/100 < 1/2

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{90}\\ =\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\dfrac{1}{4\times5}+\dfrac{1}{90}\\ =\left(\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\dfrac{1}{4\times5}\right)+\dfrac{1}{90}\\ =\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{90}\\ =\left(1-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{90}\\ =\left(\dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{90}\\ =\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{90}\\ =\dfrac{72}{90}+\dfrac{1}{90}=\dfrac{73}{90}\)

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/90

= 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + 1/(4.5) + 1/90

= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/90

= 1 - 1/5 + 1/90

= 4/5 - 1/90

= 71/90

Thể tích của bể khi vòi chảy được 50% thể tích là:

2,5x2,3x2,2x50%=6,325(m³)=6325(lít)

Thời gian để vòi chảy được nửa bể là:

6325:20=316,25(phút)

a) Thời gian người đó đi hết quãng đường AB:

10 giờ - 6 giờ 30 phút = 3 giờ 30 phút = 3,5 (giờ)

Quãng đường AB dài:

30 × 3,5 = 105 (km)

b) Vận tốc của ô tô:

105 : 2,5 = 42 (km/giờ)

a.

Thời gian xe máy đi từ A đến B là:

10 giờ - 6 giờ 30 phút = 3 giờ 30 phút

Đổi 3 giờ 30 phút =3,5 giờ

Độ dài quãng đường từ A đến B là:

\(30\times3,5=105\left(km\right)\)

b.

Vận tốc của ô tô là:

\(105:2,5=42\) (km/h)

\(\dfrac{3}{4}\) + \(\dfrac{3}{4}\) = \(\dfrac{6}{4}\) = \(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}\\ =\dfrac{3+3}{4}\\ =\dfrac{6}{4}\\ =\dfrac{6:2}{4:2}\\ =\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{2021\times2023-1}{2020\times2023+2022}\\ =\dfrac{2023\times\left(2020+1\right)-1}{2023\times2020+2022}\\ =\dfrac{2023\times2020+2023\times1-1}{2023\times2020+2022}\\ =\dfrac{2023\times2020+2023-1}{2023\times2020+2022}\\ =\dfrac{2023\times2020+\left(2023-1\right)}{2023\times2020+2022}\\ =\dfrac{2023\times2020+2022}{2023\times2020+2022}\\ =1\)

\(\dfrac{2021\times2023-1}{2020\times2023+2022}=\dfrac{\left(2020+1\right)\times2023-1}{2020\times2023+2022}=\dfrac{2020\times2023+1\times2023-1}{2020\times2023+2022}\)

\(=\dfrac{2020\times2023+2022}{2020\times2023+2022}=1\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{1\cdot3}=1-\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{5^2}< \dfrac{1}{3\cdot5}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\)

...

\(\dfrac{1}{99^2}< \dfrac{1}{97\cdot99}=\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{99^2}< 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}\)

=>\(B=1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{9^2}< 1+1=2\)

=>1<B<2

=>B không là số tự nhiên

Số các số hạng của A:

(133 - 1) : 12 + 1 = 12 (số)

Tổng các tử số:

(133 + 1) × 12 : 2 = 804

A = 804/1000 = 201/250

12,1 > 12 > 11 > 31/3

Số bé nhất thỏa mãn là 11

Vậy x = 11

12,1 > \(x\) > \(\dfrac{32}{3}\)

12\(\dfrac{1}{10}\) > \(x\) > 10\(\dfrac{2}{3}\)

Vậy \(x\) = 11