a.

\(\forall x\in A\) ta có: \(f\left(x\right)\in f\left(A\right)\) 

\(\Rightarrow A\subset f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)\)

b.

Ta có: \(\forall x\in f^{-1}\left(B\right)\Rightarrow y=f\left(x\right)\in B\Rightarrow f\left(f^{-1}\left(B\right)\right)\subset B\)

Bạn ơi, cái quan trọng là vì sao \(f\left(x\right)\in f\left(A\right)\) lại \(A\subset f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)\) được?

Lời giải:

$\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{2}>0$

$\Leftrightarrow x^4-x^3+x^2-x+1>0$

$\Leftrightarrow 2x^4-2x^3+2x^2-2x+2>0$

$\Leftrightarrow x^4+(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)+1>0$

$\Leftrightarrow x^4+(x^2-x)^2+(x-1)^2+1>0$ (luôn đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$)

Do đó $X=R$

x⁴-x³+x²-x+1/2=x⁴-x³+1/4x²+3/4x²-x+1/2=(x²-x)²+3/4(x²-4/3x+2/3)

=(x²-x)²+3/4(x²-4/3x+4/9+2/9)=(x²-x)²+3/4(x-2/3)²+1/3 >

Ta thấy với mọi giá trị của x đều thuộc phương trình nên suy ra x thuộc R => X=R

\(3^2x+3x=121-1\\ =>9x+3x=120\\ =>12x=120\\ =>x=120:12\\ =>x=10\)

3²x+3x=121¹-1¹²¹

=> 9x+3x=121-1

=> 12x=120

=> x=10

Cái này thì chắc là phải dùng máy tính cầm tay rồi. Đây là các bước thực hiện trên CASIO fx-570ES PLUS.

Đầu tiên và đương nhiên nhất là phải nhấn "on".

Tiếp theo, chỉnh máy tính về chế độ deg (bằng cách ấn shift + mode (set up), sau đó nhấn phím 3. 

Sau đó ta nhấn shift + cos \(\left(cos^{-1}\right)\) và gõ số \(0,7684\) đằng sau ngoặc "(" .

Cuối cùng nhấn "=" để có kết quả chính bằng A.

Ta bấm máy thấy \(cos^{-1}\left(0,7684\right)=39,78957314...\), vậy \(A=39,78957314...\)

Ta có \(VP=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}=\dfrac{A\left(x^2-x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\) \(=\dfrac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C}{x^3+1}\) \(=\dfrac{\left(A+B\right)x^2+\left(B+C-A\right)x+\left(A+C\right)}{x^3+1}\)

Như vậy để đẳng thức xảy ra thì \(\dfrac{\left(A+B\right)x^2+\left(B+C-A\right)x+\left(A+C\right)}{x^3+1}=\dfrac{1}{x^3+1}\) hay \(\left(A+B\right)x^2+\left(B+C-A\right)x+\left(A+C\right)=1\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}A+B=0\\B+C-A=0\\A+C=1\end{matrix}\right.\). Giải hệ ra ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{1}{3}\\B=-\dfrac{1}{3}\\C=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(sinA\cdot cos\left(B+C\right)+cosA\cdot sin\left(B+C\right)\)

\(=sinA\cdot cos\left(180^0-A\right)+cosA\cdot sin\left(180^0-A\right)\)

\(=sinA\cdot\left(-cosA\right)+cosA\cdot sinA\)

\(=sinA\left(-cosA+cosA\right)=0\).