Cho A = 2/1 * 4/3 * 6/5 * ....*200/199
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tập hợp M số tự nhiên
a) \(4< x\le7\)
=> \(M\in\left\{5,6,7\right\}\)
Vậy: tập hợp M gồm các số tự nhiên x là: 5, 6, 7
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b
Theo bài ra ta có:
a = 2b (1)
(a + 15) x 2 = 3 x (b + 20) (2)
Thay a = 2b vào (2), ta được:
(2b + 15) x 2 = 3 x (b + 20)
4b + 30 = 3b + 60
4b - 3b = 60 - 30
b = 30
Suy ra: a = 60
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: 30 x 60 = 1800 (cm2)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(gcd\left(a,b\right)=d\) và \(lcm\left(a,b\right)=m\) \(\left(d,m\inℕ^∗\right)\). Điều kiện đã cho tương đương \(d+m+a+b=ab\) \(\Leftrightarrow\dfrac{d}{ab}+\dfrac{m}{ab}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\) (1)
Ta lại có \(dm=ab\) (mình sẽ chứng minh cái này sau) nên từ (1) ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\) (2).
Do \(d\le b\le a\le m\) nên \(\dfrac{1}{m}\le\dfrac{1}{a}\le\dfrac{1}{b}\le\dfrac{1}{d}\). Kết hợp với (2), ta được \(1=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\le\dfrac{4}{d}\) \(\Leftrightarrow d\le4\) hay \(d\in\left\{1,2,3,4\right\}\).
Nếu \(d=1\) thì ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=0\), vô lí.
Nếu \(d=2\) thì ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}\), khi đó \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{3}{b}\) nên \(b\le6\) hay \(b\in\left\{1,2,3,4,5;6\right\}\). Dĩ nhiên \(b\) không thể là số lẻ do \(d=2\) là ước của b. Vậy thì \(b\in\left\{2,4,6\right\}\). Nếu \(b=2\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=0\), vô lí. Nếu \(b=4\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{4}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le8\) hay \(a\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}\). Do a cũng là số chẵn nên \(a\in\left\{2,4,6,8\right\}\), mà \(a\ge b\) nên suy ra \(b\in\left\{4,6,8\right\}\). Có \(b=4\) và \(b=6\) thỏa mãn. Nếu \(b=8\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{8}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow a\le5\), mà \(a\ge b\) nên vô lí
Nếu \(d=3\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{3}\le\dfrac{3}{b}\) \(\Leftrightarrow b\le\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow b\le4\) hay \(b\in\left\{1,2,3,4\right\}\). Mà \(b⋮3\) nên \(b=3\). Khi đó \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{3}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le6\) Nhưng vì \(a⋮3\) nên \(a\in\left\{3,6\right\}\). Nếu \(a=3\) thì thử lại không thỏa mãn. Nếu \(a=6\) thì thỏa mãn.
Nếu \(d=4\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{4}\le\dfrac{3}{b}\) hay \(b\le4\). Mà \(b⋮4\) nên \(b=4\), từ đó suy ra \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le4\), vì \(a⋮4\) nên \(a=4\).
Vậy ta tìm được các cặp số (4;4); (4;6); (6;3) thỏa ycbt.
(*) Như mình đã hứa, mình sẽ chứng minh \(gcd\left(a,b\right).lcm\left(a,b\right)=ab\):
Ta biết rằng 1 số tự nhiên N khác 0 bất kì có thể viết được dưới dạng \(N=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\) với \(p_i\left(i=\overline{1,n}\right)\) là các số nguyên tố đôi một phân biệt còn \(a_i\left(i=\overline{1,n}\right)\) là các số tự nhiên.
Trở lại bài toán, ta đặt \(a=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}\) và \(b=p_1^{n_1}.p_2^{n_2}...p_k^{n_k}\). Khi đó, rõ ràng \(gcd\left(a,b\right)=p_1^{min\left\{m_1,n_1\right\}}.p_2^{min\left\{m_2,n_2\right\}}...p_k^{min\left\{m_k,n_k\right\}}\) và \(lcm\left(a,b\right)=p_1^{max\left\{m_1,n_1\right\}}.p_2^{max\left\{m_2,n_2\right\}}...p_k^{max\left\{m_k,n_k\right\}}\). Do đó \(gcd\left(a,b\right).lcm\left(a,b\right)=\prod\limits^k_{i=1}p_i^{min\left\{m_i,n_i\right\}+max\left\{m_i,n_i\right\}}=\prod\limits^k_{i=1}p_i^{m_i+n_i}=ab\) (kí hiệu \(\prod\limits^k_{i=1}A_i=A_1A_2...A_k\))
, ta có đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
`@` `\text {Ans}`
`\downarrow`
Ta có: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z-5}{6}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3x-3}{6}=\dfrac{4y+12}{16}=\dfrac{5z-25}{30}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{3x-3}{6}=\dfrac{4y+12}{16}=\dfrac{5z-25}{30}\)`=`\(\dfrac{\left(5z-25\right)-\left(3x-3\right)-\left(4y+12\right)}{30-6-16}\)
`=`\(\dfrac{5z-25-3x+3-4y-12}{8}\)
`=`\(\dfrac{\left(5z-3x-4y\right)+\left(-25+3-12\right)}{8}\)
`=`\(\dfrac{50-34}{8}\)`=`\(\dfrac{16}{8}=2\)
`=>`\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z-5}{6}=2\)
`=>`\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot2+1=5\\y=2\cdot4-3=5\\z=2\cdot6+5=17\end{matrix}\right.\)
Vậy, `x,y,z` lần lượt là `5; 5; 17.`
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: Tính trung bình cộng của ba số
Giải:
Trung bình cộng là:
(11 + 9 + 4) : 3 = 8
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Trung bình cộng của 3 số a,b,c gấp số lần số c là:
$(2+2+1):3=\frac{5}{3}$
Giá trị số $c$ là: $60: \frac{5}{3}=36$
Số $a$ và $b$ nhận giá trị: $36\times 2=72$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vận tốc khi xuống dốc là :
20 x 2 = 40 km/h
Đoạn lên dốc dài :
20 x 3,5 = 70 km
Đoạn xuống dốc dài :
40 x 4 = 160 km
Quãng đường AB là:
160 + 70 = 230 km
Lời giải:
Vận tốc xuống dốc là: $20\times 2=40$ (km/h)
Gọi độ dài đoạn lên dốc là $a$ và độ dài đoạn xuống dốc là $b$ (km)
Thời gian đi: $a:20+b:40=a\times 0,05+b\times 0,025=3,5$ (1)
Thời gian về: $a:40+b:20=a\times 0,025+b\times 0,05=4$ (2)
Lấy phép tính (1) nhân 2 rồi trừ đi (2) ta có:
$a\times 0,1+b\times 0,05-(a\times 0,025+b\times 0,05)=3,5\times 2-4$
$a\times (0,1-0,025)=3$
$a\times 0,075=3$
$a=3:0,075=40$ (km)
$b=(3,5-a:20)\times 40=(3,5-40:20)\times 40=60$ (km)
Độ dài quãng đường $AB$: $a+b=40+60=100$ (km)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A =999 - 9 + 9 + ..+9+ 9 (trong trường hợp tổng A có 111 số hạng 9)
A = (999 - 9) + (9+9+...+9+9)
Đặt B = 9 + 9 +...+9+9
B có số số hạng là: 111 - (3 + 1) = 107
B = 9 \(\times\) 107 = 963
A = 999 - 9 + 963
A = 990 + 963
A = 1953
Trường hợp 2 : A = 999 - 9 + 9+9+...+9+9
B = 9 + 9 +...+9+9 (111 số hạng 9)
A = (999 -9) + (9+9+...+9+9)
A = 990 + 9 \(\times\) 111
A = 990 + 999
A = 1989
Lời giải:
$999-9+\underbrace{9+9+...+9}_{111}=999-9+9\times 111$
$=999-9+999=990+999=1989$
Ta có:
A� = `2121 . 4343 . 6565........200199200199`
A� < `2121..3232..5454............199198199198`
⇒⇒ A²�² < `2.4.6...2001.3.5.1992.4.6...2001.3.5.199..2.3.5....1991.2.4....1982.3.5....1991.2.4....198`
== 200.2=400200.2=400
⇒⇒ A<20�<20.
Để chứng minh A > 14, ta làm giảm mỗi phân số của A bằng cách dùng bất đẳng thức:
`n+1n�+1� > n+2n+1�+2�+1`.
Chứng minh tương tự ta có: 14<A14<�
Vậy 14<A<2014<�<20.