Lời giải:

a. Áp dụng định lý Pitago ta có: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (cm)

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

Mà $BD+DC=BC=5$

$\Rightarrow BD=5:(3+4).3=\frac{15}{7}$ (cm); $DC=5:(3+4).4=\frac{20}{7}$ (cm) 

b.

$AH=2S_{ABC}:BC=AB.AC:BC=3.4:5=\frac{12}{5}=2,4$ (cm) 

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8$ (cm) 

$HD=BD-BH=\frac{15}{7}-1,8=\frac{12}{35}$ (cm) 

$AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{2,4^2+(\frac{12}{35})^2}=2,42$ (cm)

Hình vẽ:

ĐKXĐ: \(\left|x-2\right|-1\ne0\)

\(\Rightarrow\left|x-2\right|\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ne1\\x-2\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne3\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(A-B=35^2+33^2+31^2+....+3^2+1^2-\left(34^2+32^2+30^2+....+4^2+2^2\right)\\ =\left(35^2-34^2\right)+\left(33^2-32^2\right)+\left(31^2-30^2\right)+...+\left(3^2-2^2\right)+1^2\\ =\left(35-34\right)\left(35+34\right)+\left(33-32\right)\left(33+32\right)+\left(31-30\right)\left(31+30\right)+....+\left(3-2\right)\left(3+2\right)+1\\ =1.\left(35+34\right)+1.\left(33+32\right)+1.\left(31+30\right)+....+1.\left(3+2\right)+1\\ =1+2+3+....+30+31+32+33+34+35\\ =\dfrac{\left(1+35\right).35}{2}=630\)

\(=630\)

Hình một nào em nhỉ?

Hình đâu em?

nhìn hình ta thấy=))

Bạn nên viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

a) $\Delta AIE\backsim \Delta ACI$ (g.g) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AI}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AI}$ hay $A{I}^2=AE.AC$ (1)

Chứng minh tương tự:

$\Delta AIK\backsim \Delta AKB$ (g.g) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AF}{AK}$ hay $A{K}^2=AB.AF$ (2)

Mà $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AF}$ hay $AB.AF=AC.AE$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $A{I}^2=A{K}^2$ suy ra $AI=AK$.

b) Vì $\hat{A}={60}^{\circ }$ suy ra $\widehat{B^1}={30}^{\circ }$

Trong tam giác $ABE$ vuông tại $E$ nên $AE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB,$

Trong tam giác $AFC$ vuông tại $F$ có $\widehat{C^1}={30}^{\circ }$ suy ra $AF=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AC$.

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$ (c.g.c).

suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{S^{AEF}}{S^{ABC}}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}\right)}^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}$.

Vậy $S^{AEF}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}.120=30$ cm${}^2$.