Ta có: \(D\left(x\right)=2x^2+3y^2+4z^2-2\left(x+y+z\right)+2\)

\(=2x^2+3y^2+4z^2-2x-2y-2z+2\)

\(=\left(2x^2-2x\right)+\left(3y^2-2y\right)+\left(4z^2-2z\right)+2\)

\(=2\left(x^2-x\right)+3\left(y^2-\dfrac{2}{3}y\right)+4\left(z^2-\dfrac{1}{2}z\right)+2\)

\(=2\left[x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]+3\left[y^2-2\cdot y\cdot\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right]+4\left[z^2-2\cdot z\cdot\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2-\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\right]+2\)\(=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+4\left(z-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2\)

\(=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+4\left(z-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{11}{12}\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\\3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2\ge0\forall y\\4\left(y-\dfrac{1}{4}\right)^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(x\right)=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+4\left(z-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{11}{12}\ge\dfrac{11}{12}\forall x,y,z\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y-\dfrac{1}{3}=0\\z-\dfrac{1}{4}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

Vậy: ... 

$D(x)=2\left(x^2-x\right)+\left(3y^2-2y\right)+\left(4z^2-2z\right)+2$

$=2\left(x^2-x+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)+3\left(y^2-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{9}\right)+\left[(2z{)}^2-2z+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right]+2-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}$

$=2{\left(x-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+3{\left(y-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}\right)}^2+{\left(2z-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $D$ là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}$ tại $(x,y,z)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3};\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)$.

a: Gọi I là trung điểm của MC

=>\(MI=IC=\dfrac{MC}{2}\)

mà \(AM=\dfrac{MC}{2}\)

nên AM=MI=IC

Vì AM=MI nên M là trung điểm của AI

Xét ΔBMC có

D,I lần lượt là trung điểm của CB,CM

=>DI là đường trung bình của ΔBMC

=>DI//BM và \(DI=\dfrac{BM}{2}\)

DI//BM nên OM//DI

Xét ΔADI có

M là trung điểm của AI

MO//DI

Do đó: O là trung điểm của AD

b: Xét ΔADI có

O,M lần lượt là trung điểm của AD,AI

=>OM là đường trung bình của ΔADI

=>\(OM=\dfrac{1}{2}DI=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BM=\dfrac{1}{4}BM\)

a: Gọi I là trung điểm của MC

=>��=��=��2MI=IC=MC:2

​

m��=��2AM=MC:2

​

=> AM=MI=IC

Vì AM=MI => M là trung điểm của AI

Xét ΔBMC có:

D,I lần lượt là trung điểm của CB,CM

=>DI là đường trung bình của ΔBMC

=>DI//BM , ��=��2DI=BM:2

​

DI//BM => OM//DI

Xét ΔADI có:

M là trung điểm của AI

MO//DI

=> O là trung điểm của AD

b) Xét ΔADI có

O,M lần lượt là trung điểm của AD,AI

=>OM là đường trung bình của ΔADI

=>��=12��=12⋅12⋅��=14��OM=

​DI:2=BM:4(đpcm)

a) Gọi A là biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm"

P(A) = 22/40 = 11/20

b) Gọi B là biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 6 chấm"

P(B) = 10/18 = 5/9

c) Gọi C là biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 1 chấm"

P(C) = 18/40 = 9/20

d) Gọi D là biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 3 chấm"

P(D) = 14/20 = 7/10

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{20}$.

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 6 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{20}$.

c) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 1 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{20}$.

d) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 3 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{10}$.

Tổng số học sinh của lớp 8A:

a) Số học sinh Tốt chiếm:

16 . 100% : 40 = 40%

Số học sinh Khá chiếm:

11 . 100% : 40 = 27,5%

b) Số học sinh Chưa đạt chiếm:

3 . 100% : 40 = 7,5%

Do 7,5% > 7% nên cô giáo thông báo tỉ lệ học sinh xếp loại Chưa đạt của lớp chiếm trên 7% là đúng

Lời giải:

a. 

\(B=\frac{4x(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\\ =\frac{4x(x-1)-x(x+1)+2x}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x}{x+1}\)

\(P=AB=\frac{x-2}{x}.\frac{3x}{x+1}=\frac{3(x-2)}{x+1}\)

b.

Để $P$ là số tự nhiên thì $\frac{3(x-2)}{x+1}\in\mathbb{Z}$ và $x-2>0$

$\Rightarrow 3(x-2)\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow 3(x+1)-9\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow 9\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow x+1=9$

$\Rightarrow x=8$

Khi đó: $P=\frac{3(8-2)}{8+1}=2$

c.

$P=\frac{3(x-2)}{x+1}=m$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{3x-6-mx-m}{x+1}=0$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{x(3-m)-(m+6)}{x+1}=0$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow x(3-m)=m+6$ có nghiệm dương duy nhất

Điều này xảy ra khi $3-m\neq 0$ và $\frac{m+6}{3-m}>0$

$\Leftrightarrow m\neq 3$ và $-6< m< 3$

$\Leftrightarrow -6< m< 3$

CM: Đặt số lớn là \(a\), số bé là \(b\), tổng hai số là \(c\), hiệu hai số là \(d\)\((a,b,c,d\in\mathbb{R};a>b)\)

Khi đó, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a-b=d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=c+d\\\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=c-d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=c+d\\2b=c-d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(c+d\right):2\\b=\left(c-d\right):2\end{matrix}\right.\left(\text{đpcm}\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bây giờ e đang học lớp 4 =<

Ta có \(VT=\dfrac{\dfrac{4x^2}{y^2}}{\left(\dfrac{x^2}{y^2}+1\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)

Đặt \(\dfrac{x^2}{y^2}=t\left(t>0\right)\) thì VT thành

\(\dfrac{4t}{\left(t+1\right)^2}+t+\dfrac{1}{t}\)

\(=\dfrac{4t}{\left(t+1\right)^2}+\dfrac{t^2+1}{t}\)

\(=\dfrac{4t}{\left(t+1\right)^2}+\dfrac{\left(t+1\right)^2}{t}-2\)

Đặt \(\dfrac{\left(t+1\right)^2}{t}=u\left(u\ge4\right)\) (vì BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\))

Khi đó \(VT=u+\dfrac{4}{u}-2\)

 \(=\dfrac{4}{u}+\dfrac{u}{4}+\dfrac{3u}{4}-2\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{4}{u}.\dfrac{u}{4}}+\dfrac{3.4}{4}-2\)

\(=2+3-2\)

\(=3\)

\(\Rightarrow VT\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow u=4\) \(\Leftrightarrow t=1\) \(\Leftrightarrow x=\pm y\)

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\pm y\)

câu a

\(\dfrac{3x+15}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}\\ =\dfrac{3\cdot\left(x+5\right)}{\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}\\ =\dfrac{3\cdot\left(x+5\right)}{\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)}+\dfrac{x-3}{\left(x+3\right)\cdot\left(x-3\right)}-\dfrac{2\cdot\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)}\)\(=\dfrac{3\cdot\left(x+5\right)+x-3-2\cdot\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)}\\ =\dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)}\\ =\dfrac{2x+6}{\left(x+3\right)\cdot\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{2\cdot\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\cdot\left(x-3\right)}\\ =\dfrac{2}{x-3}\)

câu b

để \(\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{2}{3}\) thì \(x-3=3\)

\(\Rightarrow x=3+3=6\)

vậy  \(x=6\) thì \(A=\dfrac{2}{3}\)