Đặt cạnh của hình vuông là \(d\), bán kính của đường tròn là \(r\) \(\left(d,r>0\right)\). Gọi tên các điểm như hình vẽ trên, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2+d^2}=\frac{d\sqrt{5}}{2}\)

Dễ thấy \(\Delta BMC~\Delta BOA\) do chúng là các tam giác cân có góc ở đáy bằng nhau.

Suy ra \(BO.BC=BM.BA\) hay \(rd=\frac{BA^2}{2}=\frac{5}{8}d^2\Leftrightarrow r=\frac{5}{8}d\) vì \(d>0\)

Như vậy \(\frac{C_{circle}}{C_{square}}=\frac{2\pi r}{4d}=\frac{\pi.\frac{5}{8}d}{2d}=\frac{5\pi}{16}< 1\Leftrightarrow C_{square}>C_{circle}.\)

ĐKXĐ \(x\ge2\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=t\left(t\ge0\right)\)

pt đã cho trở thành \(t^2-2t=-1\)\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow t-1=0\)\(\Leftrightarrow t=1\)(nhận)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=1\)\(\Leftrightarrow x-2=1\)\(\Leftrightarrow x=3\)(nhận)

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{3\right\}\)

Ta có: 

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

Suy ra \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c\).

a) Ta có: \(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)=16-4\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16-8m+12=-8m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm x1;x2 phân biệt thì \(-8m+28>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-28\)

hay \(m< \dfrac{7}{2}\)

Với \(m< \dfrac{7}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2

nên Áp dụng hệ thức Viet, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{2m-3}{1}=2m-3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\4+2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Khi \(m=-\dfrac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau

\(\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}^2\theta^2\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\sqrt{ }ℕ^∗\Delta\)

Các pt trên có 2 ẩn nên không thể tìm ra nghiệm (x;y) cụ thể. Nhưng ta có thể tìm nghiệm tổng quát của các pt đó.

a) pt đã cho \(\Leftrightarrow x\sqrt{3}=1+y\left(1+\sqrt{2}\right)\)\(\Leftrightarrow x=\frac{y\left(1+\sqrt{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=\frac{y\sqrt{3}\left(1+\sqrt{2}\right)+1}{3}\Leftrightarrow x=\frac{y\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)+1}{3}\)

Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho là \(\hept{\begin{cases}x\inℝ\\x=\frac{y\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)+1}{3}\end{cases}}\)

Làm tương tự với câu b.

Câu a và b dễ.

Sau đây là câu c .các bạn góp ý nha. Tks.

bn vào trang cá nhân của mk nha

Ta có:

\(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+\sqrt{\frac{5}{x+4}}=4\)

\(\Leftrightarrow2-\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2-\sqrt{\frac{5}{x+4}}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{4-\frac{1}{x+3}}{2+\sqrt{\frac{1}{x+3}}}+\frac{4-\frac{5}{x+4}}{2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x+11}{2+\sqrt{\frac{1}{x+3}}}+\frac{4x+11}{2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x+11\right)\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{1}{x+3}}}+\frac{1}{2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{11}{4}\)