Lời giải:

ĐK: $3m+1\neq 0$

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$

Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$

$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$

Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$

Tương tự: $B(0, -6m-1)$

Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$

Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min 

Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$

Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$

$\Leftrightarrow m=-1$

a/

Xét tg vuông ABH

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}cm\)

\(AH^2=BH.CH\Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{6^2}{3}=12cm\)

Xét tg vuông ACH

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}cm\)

b/

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}\)

CH=BC-BH

\(AH^2=BH.CH\)

Xét tg vuông ACH

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}\)

Bạn tự thay số và tính toán nhé

Cách 1: Ta nhận thấy với mọi \(x>0\) thì \(3\sqrt{x}+2>2\sqrt{x}+2\), do đó \(B>1\). Với \(x=0\) thì \(B=1\). Do đó \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)

 Cách 1 tuy nhanh gọn nhưng nó chỉ có tác dụng trong một số ít các trường hợp. Trường hợp này may mắn cho ta ở chỗ ta có thể đánh giá tử lớn hơn hoặc bằng mẫu với mọi \(x\ge0\) (dấu "=" chỉ xảy ra khi \(x=0\))

Cách 2: \(B=\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow2B\sqrt{x}+2B=3\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow\left(2B-3\right)\sqrt{x}=2-2B\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{2-2B}{2B-3}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\) nên \(\dfrac{2-2B}{2B-3}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\le B< \dfrac{3}{2}\). Như vậy \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)

 Rõ ràng cách 2 dài hơn cách 1 nhưng nó có thể áp dụng trong nhiều dạng bài tìm GTNN hay GTLN khác nhau. Bạn xem xét bài toán rồi chọn cách làm cho phù hợp là được.

B =  \(\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\sqrt{x}+3-1}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\) = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

Vì  \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) > 0 ∀ \(x\) ≥ 0 ⇒ B min ⇔A =  \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) max

2\(\sqrt{x}\) ≥ 0 ⇒ 2\(\sqrt{x}\) + 2 ≥ 2  ⇒ Max A = \(\dfrac{1}{2}\) ⇔ \(x\) = 0

Vậy Min B = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\)  =  1 ⇔ \(x\) = 0

\(2\left(x+1\right)-1=3\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)=3+1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x+1=4:2\)

\(\Leftrightarrow x+1=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

1 Have you made

2 look

3 put

4 got

5 turn

6 took

7 have gone

8 brought

9 stand

10 come

#\(Errink \times Cream\)

#\(yGLinh\)

\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{3^2}+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2^2}}-\sqrt{\sqrt{3^2}-2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|-\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)

\(3,\dfrac{\sqrt{9+6\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3\left(3+2\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2^2}+2\sqrt{2}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{2}+1\right|=\sqrt{2}+1\)

\(4,\sqrt{2+\sqrt{3}}:\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}:\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{3^2}+2\sqrt{3}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2\)

\(=\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1\)

Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$ (cm) 

Áp dụng tính chất tia phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Mà: $BD+DC=BC=20$

$\Rightarrow BD=20:(3+4).3=\frac{60}{7}$ (cm) 

Theo hệ thức lượng của tam giác vuông:

$HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2$ (cm) 

$CH=BC-HB=20-7,2=12,8$ (cm) 

$HD=BD-BH=\frac{60}{7}-7,2=\frac{48}{35}$ (cm)

Hình vẽ: