`[sin \alpha + cos \alpha-1]/[1-cos \alpha]=[2cos \alpha]/[sin \alpha-cos \alpha+1]`

`<=>(sin \alpha+cos \alpha-1)(sin \alpha-cos \alpha+1)=2cos \alpha(1-cos \alpha)`

`<=>sin^2 \alpha-(cos \alpha-1)^2=2cos \alpha-2cos^2 \alpha`

`<=>sin^2 \alpha-cos^2 \alpha+2cos \alpha-1=2cos \alpha-2cos^2 \alpha`

`<=>sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1` (LĐ)

Vậy đẳng thức đc c/m

`\sqrt{x+12+6\sqrt{x+3}}-\sqrt{x+12-6\sqrt{x+3}}`   `ĐK: x >= -3`

`=\sqrt{(\sqrt{x+3})^2+2.\sqrt{x+2}.3+3^2}-\sqrt{(\sqrt{x+3})^2-2.\sqrt{x+2}.3+3^2}`

`=\sqrt{(\sqrt{x+3}+3)^2}-\sqrt{(\sqrt{x+3}-3)^2}`

`=|\sqrt{x+3}+3|-|\sqrt{x+3}-3|`

`=\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|`

`@` Với `\sqrt{x+3}-3 >= 0<=>\sqrt{x+3} >= 3<=>x+3 >= 9<=>x >= 6` (t/m)

    `=>\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|=\sqrt{x+3}+3-\sqrt{x+3}+3=6`

`@` Với `\sqrt{x+3}-3 < 0<=>\sqrt{x+3} < 3<=>x+3 < 9<=>x < 6`

                                    Kết hợp đk `x >= -3 =>-3 <= x < 6`

   `=>\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|=\sqrt{x+3}+3-3+\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+3}`

\(\sqrt{x+12+6\sqrt{x+3}}-\sqrt{x+12-6\sqrt{x+3}}\) \(\left(ĐKXĐ:x\ge-3\right)\)

\(=\sqrt{\left(x+3\right)+2\sqrt{x+3}.3+9}-\sqrt{\left(x+3\right)-2\sqrt{x+3}.3+9}\)

\(=\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}+3\right)+3\right]^2}-\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}+3\right)-3\right]^2}\)

\(=|\left(\sqrt{x}+3\right)+3|-|\left(\sqrt{x}+3\right)-3|\)

\(=\left(\sqrt{x}+3\right)+3-\left(\sqrt{x}+3\right)+3=6\) ( Với \(x\ge-3\) ) 

\(D=\dfrac{4x+3}{2x-6}\) ; \(ĐK:x\ne3\)

\(D=\dfrac{2\left(2x-6\right)+15}{2x-6}=2+\dfrac{15}{2x-6}\)

Để `D` nguyên thì \(\dfrac{15}{2x-6}\in Z\) hay \(2x-6\inƯ\left(15\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm5;\pm15\right\}\)

 Mà \(x\in Z\) \(\Rightarrow2x-6\) chẵn, mà \(1;3;5;15\) đều là số lẻ

\(\Rightarrow\) không có giá trị `x` nguyên để `D` nguyên

Đề không rõ ràng. Bạn xem lại.

a) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow HE.AB=HB.HA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HE.AB}{HB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow HF.AC=HA.HC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HF.AC}{HC}\left(2\right)\)

△ABC vuông tại A có: AH là đường cao.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH.BC=AB.AC\\AH^2=HB.HC\end{matrix}\right.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ (1), (2) suy ra:

\(AH^2=\dfrac{HE.AB.HF.AC}{HB.HC}=\dfrac{HE.HF.AH.BC}{AH^2}=\dfrac{HE.HF.BC}{AH}\Rightarrow AH^3=BC.HE.HF\)

b) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow BH^2=BE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow CF.AC=CH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow CF=\dfrac{CH^2}{AC}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(BE.CF=\dfrac{BH^2.CH^2}{AB.AC}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH.BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)

Biết ABC = AC ( vô lý vậy )??

delete ngay vèo lun:^

\(\sqrt{2x^2-11x+19}=5\)

\(2x^2-11x+19=25\)

\(2x^2-11x-6=0\)

\(\text{∆}=\left(11\right)^2-4.2.\left(-6\right)=169>0\)

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{11-\sqrt{169}}{2.2}=-\dfrac{1}{2}\\x_2=\dfrac{11+\sqrt{169}}{2.2}=6\end{matrix}\right.\)

`\sqrt{2x^2-11x+19}=5`

`<=>2x^2-11x+19=25`

`<=>2x^2-11x-6=0`

`<=>2x^2-12x+x-6=0`

`<=>2x(x-6)+(x-6)=0`

`<=>(x-6)(2x+1)=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=6\\ x=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy `S={6;-1/2}`

a. \(\sqrt{x^2+1}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=16\)

\(\Leftrightarrow x^2=15\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{15}\)

b. \(\sqrt{x^2+5x+20}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+20=16\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix}\right.\)

c. \(x-5\sqrt{x}+4=0\)

Đặt \(t=\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow t^2-5t+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=1\end{matrix}\right.\) (TM)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

d. \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=8\)

\(\Leftrightarrow x+3\sqrt{x}+\sqrt{x}+3=8\)

\(\Leftrightarrow x+4\sqrt{x}-5=0\)

Tương tự câu c ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\left(TM\right)\\x=-1\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

a) \(\sqrt{x^2+1}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=16\)

\(\Leftrightarrow x^2=15\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{15}\)

b) \(\sqrt{x^2+5x+20}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+20=16\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix}\right.\)

c) \(x-5\sqrt{x}+4=0\)(ĐK: \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=16\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn) 

d) \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=8\)(ĐK: \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x+4\sqrt{x}-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn) 

Câu 11: 

Gọi độ dài cạnh hình vuông là \(x\).

\(cot\widehat{MBQ}=\dfrac{BQ}{MQ}\Rightarrow cot60^o=\dfrac{1-x}{2x}\Rightarrow2x=\sqrt{3}\left(1-x\right)\)

\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{3}-3\)

\(S_{MNPQ}=\left(2\sqrt{3}-3\right)^2=21-12\sqrt{3}\)

Câu 12: 

Gọi vận tốc của ô tô đi từ A đến B là \(x\left(km/h\right),x>10\).

Ta có: 

\(\dfrac{40}{x}+\dfrac{8}{x-10}=1\)

\(\Rightarrow40\left(x-10\right)+8x=x\left(x-10\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-58x+400=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-50\right)\left(x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\left(tm\right)\\x=8\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc của ô tô đi từ A đến B là \(50km/h\).