Áp dụng định lí Py ta go cho tam giác ABC ta được : 

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow5^2+AC^2=13^2\Leftrightarrow AC^2=13^2-5^2=144\Leftrightarrow AC=12\)cm 

Ta có \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{x+z-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)

=> \(\frac{y+z-x}{x}+2=\frac{x+z-y}{y}+2=\frac{x+y-z}{z}+2\)

=> \(\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)

Khi x + y + z = 0

=> x + y = -z 

x + z = -y

y + z = -x

Khi đó B = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=\frac{-xyz}{xyz}=-1\)

Khi x + y + z \(\ne\)0

=> \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow x=y=z\)

Khi đó B = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2.2.2=8\)

Vậy khi x + y + z = 0 => B = -1

khi x + y + z \(\ne\)0 =>B = 8

Sai đề rồi phải là kẻ \(AH\perp BC\left(H\in BC\right)\) nhé!

a) Xét 2 Δ vuông: Δ AHB = Δ AHC (c.h-g.n) vì:

\(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\left(gt\right)\end{cases}}\)

=> \(BH=HC\)

b) Xét 2 Δ vuông: Δ BHF = Δ CHE (c.h-g.n) vì:

\(\hept{\begin{cases}HB=HC\left(p.a\right)\\\widehat{HBF}=\widehat{HCE}\left(gt\right)\end{cases}}\)

=> \(HE=HF\) => Tam giác HEF cân tại H

Vì tam giác ABC vuông tại B

=> AB² + BC² = AC² (Định lý Py-ta-go)

=> 12² + BC² = 20²

=> BC² = 256

=> BC² = 16²

=> BC = 16

Vậy độ dài cạnh BC là 16 cm

Áp dụng định lý Pytago ta có:

\(AC^2=AH^2+HC^2=12^2+16^2=400\)

\(\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\)

Và \(BH^2=AB^2-AH^2=13^2-12^2=25\)

\(\Rightarrow BH=5\left(cm\right)\Rightarrow BC=BH+HC=5+16=21\left(cm\right)\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}AC=20\left(cm\right)\\BC=21\left(cm\right)\end{cases}}\)

a/

\(AD=BD\) (1)

DE//BC; EF//AB => DEFB là hình bình hành => EF=BD (2)

Từ (1) và (2) => AD=EF (dpcm)

b/

AD=EF (cmt) (1)

EF//AB \(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{FEC}\) (góc đồng vị) (2)

EF//AB \(\Rightarrow\widehat{EFC}=\widehat{ABC}\) (góc đồng vị)

DE//BC \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\) (góc đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{EFC}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta EFC\left(g.c.g\right)\)

c/ 

\(AD=BD\); DE//BC => AE=EC (trong 1 tg đường thẳng // với cạnh đáy và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì nó đi qua trung điểm cạnh còn lại)

*Tự vẽ hình

a) Có : DE//BC(GT)

            EF//AB(GT)

=> BDEF là hình bình hành

=> BD=EF

Mà : AD=DB(GT)

=> AD=EF (đccm)

b) Ta có : AD=DB(GT)

               DE//BC (GT)

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> AE=EC

Có : AE=EC(cmt)

       EF//AB(GT)

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> BF=FC

Mà : BF=DE(BDEF-hình bình hành)

=> FC=DE

 Xét tam giác ADE và EFC có :

   AE=EC(cmt)

   AD=EF(cm ý a)

   DE=FC(cmt)

=> Tam giác ADE=EFC(c.c.c)

c) Đã chứng minh ở ý b

*Cách khác:

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

a) Ta có: BD // EF (vì AB /// EF)

=> Góc BDF = góc DFE (2 góc so le trong)

Vì DE // BC (gt)

nên góc EDF = góc BFD (2 góc so le trong)

Xét tam giác EDF và tam giác BDF có:

Góc BDF = góc DFE (chứng minh trên)

DF là cạnh chung

Góc EDF = góc BFD (chứng minh trên)

=> Tam giác DEF = tam giác FBD (g.c.g)

=> BD = EF ( 2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

Mà BD = AD (vì D là trung điểm của AB)

=> AD = EF   (đpcm)

b) Ta có: AB // EF (gt)

=> Góc A = góc CEF (2 góc đồng vị)

Lại có: tam giác DEF = tam giác FBD (chứng minh trên)

=> Góc DEF = góc B (2 góc tương ứng)  (1)

Mà DE // BC (gt)

=> Góc DEF = góc CFE (2 góc so le trong)  (2)

     Góc ADE = góc B (2 góc đồng vị)

Từ (1), (2) => Góc B = góc CFE

Mà góc B = góc ADE (chứng minh trên)

=> Góc ADE = góc CFE 

Xét tam giác ADE và tam giác CEF có:

Góc CEF = góc A (chứng minh trên)

AD = EF (chứng minh trên)

Góc ADE = góc CFE (chứng minh trên)

=> Tam giác ADE = tam giác EFC (g.c.g)   (đpcm)

c) Ta có: tam giác ADE = tam giác EFC (chứng minh trên)

=> AE = CE (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

tự vẽ hình nhé.

Kẻ $AD\perp BC=\left\{D\right\}$

a, $\Delta ABD$có: $\widehat{ADB}={90}^o$

$\Rightarrow AD=AB.\sin B\iff AD=16.\sin 30=8\sqrt{3}\left(cm\right)$

$\Delta ABD$có: $\widehat{ADB}={90}^o$

$\Rightarrow A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2$(định lý Py-ta-go)

hay ${16}^2={\left(8\sqrt{3}\right)}^2+B{D}^2$

$B{D}^2=64$

$BD=8\left(cm\right)$

$\Delta ADC$có: $\widehat{ADC}={90}^o$

$\Rightarrow A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$(định lý Py-ta-go)

hay ${14}^2={\left(8\sqrt{3}\right)}^2+C{D}^2$

$C{D}^2=4$

$CD=2\left(cm\right)$

Ta có: $BC=CD+BD=2+8=10\left(cm\right)$

Kẻ BH \(\perp\)AC tại H

Ta có \(\widehat{BAH}=\widehat{A}-\widehat{BAC}=180^{\text{o}}-120^{\text{o}}=60^{\text{o}}\)

Lại có : tam giác AHB vuông tại H có \(\widehat{AHB}=\widehat{H}-\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-60^{\text{o}}=30^{\text{o}}\)

=> \(AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.16=8\)(Vì trong tam giác vuông,cạnh đối diện với góc 30^o bằng 1/2 cạnh huyền)

=>CH  = AC + AH = 14 + 8 = 22 cm

Vì tam giác AHB vuông tại H => AH² + HB² = AB²

=> 8² + HB² = 16²

=> HB² = 192

Lại có tam giác HBC vuông tại H 

=> HC² + HB² = BC²

=> 22² + 192 = BC²

=> BC² = 676

=> BC = 26 cm

Vậy BC = 26 cm