Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước tiên ta có một bổ đề sau:
Bổ đề: Cho 2 số \(a,b\) sao cho cả \(a,b\) đều viết được dưới dạng tổng của 4 số chính phương. Khi đó tích \(p=ab\) cũng có thể biểu diễn được thành tổng của 4 số chính phương.
\(\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right)\)
\(=\left(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4\right)^2+\left(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3\right)^2\) \(+\left(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2\right)^2+\left(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1\right)^2\)
Chứng minh thì bạn khai triển ra thôi.
Ta thấy \(0=0^2+0^2+0^2+0^2\)
\(1=0^2+0^2+0^2+1^2\)
\(2=0^2+0^2+1^2+1^2\)
Từ bổ đề trên, ta thấy chỉ cần chứng minh khẳng định đúng với số nguyên tố lẻ \(p\) thì coi như bài toán hoàn tất.
(Vì mọi số tự nhiên đều có thể viết được dưới dạng \(2^n.t\) với \(t\) lẻ)
Ta có số dư của \(a^2\) khi chia cho \(p\) luôn phân biệt khi cho \(a\) chạy từ \(0\) đến \(\dfrac{p-1}{2}\). Thật vậy, chọn \(a\) bất kì và đặt \(c=a^2modp\) \(\Rightarrow a\) là nghiệm của đa thức \(x^2-c\) trên trường \(Z/pZ\). Tương tự với \(p-a\left(\ne a\right)\). Ta biết rằng trong một trường \(K\), bất kì đa thức bậc \(n\) nào cũng chỉ có tối đa \(n\) nghiệm. Vì vậy không còn \(a\) nào khác là nghiệm của \(x^2-c\) nữa. Điều này có nghĩa là với mỗi số \(i\) trong tập hợp \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì tồn tại duy nhất \(a\) để \(a^2\equiv i\left[p\right]\)
Tương tự, khi \(b\) chạy từ tập \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì \(-b^2-1\) phân biệt. Áp dụng nguyên lí Dirichlet, tồn tại \(a,b\) sao cho \(a^2\equiv-b^2-1\left[p\right]\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+1^2+0^2=np\) với \(n\inℕ\)
Gọi \(m\) là số tự nhiên nhỏ nhất để \(mp\) là tổng của 4 số chính phương, \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\). Ta chứng minh bằng phản chứng rằng \(m=1\) . Giả sử \(m\ne1\). Ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn bằng việc chứng minh tồn tại một số tự nhiên \(r< m\) mà \(rp\) là tổng của 4 số chính phương.
Với mỗi \(x_i\) và \(y_i\) có cùng số dư khi chia cho \(m\) và nằm giữa \(\dfrac{-m+1}{2}\) và \(\dfrac{m}{2}\), ta có \(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr\), với \(0< r< m\)
Áp dụng bổ đề, ta có \(mpmr=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2\). Vì \(x_i\equiv y_i\left[m\right]\) nên \(z_i⋮m\). Thật vậy:
\(z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\) \(\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\) \(\equiv mp\equiv0\left[m\right]\)
\(z_2=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3\equiv x_1x_2-x_2x_1+x_3x_4-x_4x_3\equiv0\left[m\right]\)
Bằng cách tương tự chứng minh được \(z_3,z_4⋮m\)
Vậy với \(w_i=\dfrac{z_i}{m}\) thì \(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=rp\), điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của \(m\).
(Ta loại TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=\dfrac{m}{2}\), khi đó \(r=m\); và TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=0\), khi đó \(r=0\) vì cả 2 TH này đều cho ra \(mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2⋮m^2\), vô lí vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(m\))
Do vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.
Đáy bé của thửa ruộng hình thang đó là:
\(90:100\times67=60,3\left(m\right)\)
Chiều cao của thửa ruộng hình thang đó là:
\(60,3\times\dfrac{4}{7}=34,457\left(m\right)\)
Diện tích của thửa ruộng hình thang đó là:
\(\dfrac{\left(90+60,3\right)\times34,457}{2}=2589,44355\left(m^2\right)\)
Đáp số: \(2589,44355m^2\)
Đáy bé thửa ruộng là:
\(90\cdot67\%=60,3\left(m\right)\)
Chiều cao thửa ruộng là:
\(60,3\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{1206}{35}\left(m\right)\)
Diện tích thửa ruộng là:
\(\left(90+60,3\right)\cdot\dfrac{1206}{35}:2=2589,454\left(m^2\right)\) (đã làm tròn)
Đáp số: \(2589,454m^2\)
\(\dfrac{-777}{546}=\dfrac{\left(-777\right):21}{546:21}=\dfrac{-37}{26}\)
\(\dfrac{17}{5}.\left(-\dfrac{31}{125}\right).\dfrac{1}{2}.\dfrac{10}{17}.\left(-\dfrac{1}{8}\right)\\=\dfrac{17}{5}.\dfrac{10}{17}.\left(-\dfrac{31}{125}\right).\left(-\dfrac{1}{8}\right)\\ =2.\dfrac{31}{1000}\\ =\dfrac{31}{500} \)
a,\(\left[\dfrac{11}{4}.\left(-\dfrac{5}{9}\right)-\dfrac{4}{9}.\dfrac{11}{4}\right].\dfrac{8}{33}\\ =\left[\dfrac{11}{4}.\left(-1\right)\right].\dfrac{8}{33}\\ =-\dfrac{11}{4}.\dfrac{8}{33}\\ =-\dfrac{2}{3}.\)
b, \(-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5}.\left(\dfrac{43}{56}+\dfrac{5}{24}-\dfrac{21}{63}\right)\\ =-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5}.\dfrac{9}{14}\\ =-\dfrac{3}{5}+\dfrac{36}{35}\\ =\dfrac{3}{7}.\)
Gọi chiều dài lúc đầu là \(x\) (m); \(x>0\)
Thì chiều rộng lúc đầu là: 160: 2 - \(x\) = 80 - \(x\)
Chiều rộng lúc sau là: (100% + 20%).(80- \(x\)) = 1,2.(80 - \(x\))
Chiều dài lúc sau là: (100%- 10%).\(x\) = 0,9\(x\)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\dfrac{1,2.\left(80-x\right)}{0,9x}\) = \(\dfrac{4}{5}\)
5.1,2.(80 - \(x\)) = 4.0,9\(x\)
480 - 6\(x\) = 3,6\(x\)
6\(x\) + 3,6\(x\) = 480
9,6\(x\) = 480
\(x\) = 480 : 9,6
\(x\) = 50
Chiều rộng là 80 - 50 = 30 (m)
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là: 50 x 30 = 1500 (m2)
Kết luận: Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là: 1500 m2
chu vi và diện tích bằng nhau
vì phép tính dựa theo công thức đều là 4x4
a; Chu vi hình vuông là: 4 x 4 = 16 (cm)
Diện tích hình vuông là: 4 x 4 = 16 (cm2)
Chu vi và diện tích là hai đại lượng khác biệt nhau do vậy không thể so sánh được em nhé.
a; -\(\dfrac{3}{26}\).(-\(\dfrac{15}{19}\)) + \(\dfrac{2}{9}\) .(- \(\dfrac{3}{26}\))
= - \(\dfrac{3}{26}\).( - \(\dfrac{15}{19}\) + \(\dfrac{2}{9}\))
= - \(\dfrac{3}{26}\).(-\(\dfrac{97}{171}\))
= \(\dfrac{97}{1482}\)
b; (-\(\dfrac{2}{5}\)).\(\dfrac{4}{15}\) + (-\(\dfrac{3}{10}\)).\(\dfrac{4}{15}\)
= \(\dfrac{4}{15}\).(-\(\dfrac{2}{5}\) - \(\dfrac{3}{10}\))
= \(\dfrac{4}{15}\).(-\(\dfrac{7}{10}\))
= - \(\dfrac{14}{75}\)