Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

Kẻ đường cao từ B xuống AC tại E do đó :

\(S_{ABC}=\dfrac{BE.AC}{2}\)

mà \(BE< AB\) ( AB là cạnh huyền trong tam giác ABE )

Do đó :

\(\dfrac{AB.AC}{2}\ge\dfrac{BE.AC}{2}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

\(\Rightarrow AB.AC\ge AH.BC\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : BE trùng với AB

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) vuông tại A .

ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a;\sqrt{8x+1}=b\left(a;b\ge0\right)\)

=> \(a^2=2x-1;b^2=8x+1\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{10}=x\)

Lại có \((13x+1).\sqrt{2x-1}=(7x-1).\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{2x-1}\right)^3+15x.\sqrt{2x-1}=-\left(\sqrt{8x+1}\right)^3+15x.\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-a^3+15ax=-b^3+15bx-4\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-\dfrac{3}{2}.\left(a-b\right).\left(a^2+b^2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^3=8\)

\(\Leftrightarrow a=b-2\)

Thay vào ta được : \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{8x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow3x+3=2\sqrt{8x+1}\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-14x+5=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{5}{9}\end{matrix}\right.\)(tm ĐKXĐ)

√4−√7−√4+√7+√7=√2(√4−√7−√4+√7+√7)√2=√8−2√7−√8+2√7+√14√2=√7−2√7+1−√7+2√7+1+√14√2=√(√7−1)2−√(√7+1)2+√14√2=∣∣√7−1∣∣−∣∣√7+1∣∣+√14√2=√7−1−√7−1+√14√2=√14−2√2=√2(√7−√2)√2=√7−√2

Lời giải:
\(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\frac{8+2\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{7}+1)^2}{2}}\)

\(=\frac{|\sqrt{7}-1|}{\sqrt{2}}-\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-1-(\sqrt{7}+1)}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

P nguyên <=> \(\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

<=> \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

<=> \(\sqrt{x}-1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

=> \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)  (vì \(\sqrt{x}+1>0\forall x\in N\))

...

 Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

 Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

 Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)

 Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

 Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

Nhớ tick nha

$\{\begin{array}{c}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\ y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\ x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{array}$

Lấy (2) cộng (3) ta được

$x^2+y^2-yz-zx=2$ (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-z\end{array}$

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

A =\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2-1}}.\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\)

\(=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right).\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\)

\(=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right).\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{x+1-\left(x-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{x+1+x-1+2\sqrt{x^2-1}}{2}\)

\(=x+\sqrt{x^2-1}=\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+\sqrt{\left(\dfrac{a^2+b^2}{2ab}\right)^2-1}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+\sqrt{\dfrac{a^4+b^4+2a^2b^2}{4a^2b^2}-\dfrac{4a^2b^2}{4a^2b^2}}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+\sqrt{\dfrac{\left(a^2-b^2\right)^2}{4a^2b^2}}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+\dfrac{b^2-a^2}{2ab}\) (do b > a > 0 nên b² - a² > 0)

\(=\dfrac{2b^2}{2ab}=\dfrac{b}{a}\)

Các điều kiện xác định hợp lại sẽ là \(\left\{{}\begin{matrix}2\le x\le4\\0\le y\le2\end{matrix}\right.\)

Ta có \(8\sqrt{xy-2y}-8y+4\) \(=8\sqrt{y\left(x-2\right)}-8y+4\) \(\le4\left(y+x-2\right)-8y+4\) (BĐT AM-GM) \(=4\left(x-y\right)-4\)

Do vậy, \(\left(x-y\right)^2=8\sqrt{xy-2y}-8y+4\le4\left(x-y\right)-4\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)+4\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)^2\le0\) \(\Leftrightarrow x-y-2=0\) \(\Leftrightarrow y=x-2\), điều này cũng thỏa mãn ĐTXR của BĐT \(8\sqrt{y\left(x-2\right)}=4\left(y+x-2\right)\). Do đó, pt đầu tiên của hệ \(\Leftrightarrow y=x-2\) hay \(x=y+2\)

Thay vào pt thứ 2 của hệ, ta có 

\(2\sqrt{2y-y^2}\left(\sqrt{4-2y}-2\sqrt{2y}+1\right)=4y+5\sqrt{2-y}-10\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(4-2y\right)\sqrt{2y}-4y\sqrt{4-2y}+2\sqrt{y\left(2-y\right)}=4y+5\sqrt{2-y}-10\sqrt{y}\)

 Mình mới làm được đến đây thôi. Mình phải đi ngủ rồi, thế nên mai mình suy nghĩ tiếp nhé.

A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\); \(x\) = 9 - 4\(\sqrt{2}\) 

Thay \(x\) = 9 - 4\(\sqrt{2}\) vào  biểu thức A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\) ta có:

A = \(\dfrac{9-4\sqrt{2}+3}{\sqrt{9-4\sqrt{2}}+1}\)  = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{\sqrt{8-4\sqrt{2}+1}+1}\) 

A = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}+1}\) = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1+1}\)

A = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{2\sqrt{2}\left(3\sqrt{2}-2\right)}{2\sqrt{2}}\)

A = 3\(\sqrt{2}\) - 2