\(ab=8;ac=15\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{8}{15}\)

\(tanB=\dfrac{b}{c}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow cotB=\dfrac{1}{tanB}=\dfrac{15}{8}\left(tanB.cotB=1\right)\)

\(1+tan^2B=\dfrac{1}{cos^2B}\Rightarrow cos^2B=\dfrac{1}{1+tan^2B}\)

\(\Rightarrow cos^2B=\dfrac{1}{1+\dfrac{64}{225}}\dfrac{1}{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{225}{289}\)

\(\Rightarrow cosB=\sqrt[]{\dfrac{225}{289}}=\dfrac{15}{17}\)

\(tanB=\dfrac{sinB}{cosB}\Rightarrow sinB=tanB.cosC=\dfrac{8}{15}.\dfrac{15}{17}\)

\(\Rightarrow sinB=\dfrac{8}{17}\)

Vì \(B+C=90^o\Rightarrow C=90^o-B\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinC=cosB=\dfrac{15}{17}\\cosC=sinB=\dfrac{8}{17}\\tanC=cotB=\dfrac{15}{8}\\cotC=tanB=\dfrac{8}{15}\end{matrix}\right.\)

Để tính các tỉ số lượng giác của góc B, ta sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác: sin(B) = cạnh đối diện / cạnh huyền = AC / AB = 15 / 8 cos(B) = cạnh kề / cạnh huyền = BC / AB = ? tan(B) = cạnh đối diện / cạnh kề = AC / BC = ? Để tính tỉ số lượng giác của góc C, ta sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác: sin(C) = cạnh đối diện / cạnh huyền = AB / AC = 8 / 15 cos(C) = cạnh kề / cạnh huyền = BC / AC = ? tan(C) = cạnh đối diện / cạnh kề = AB / BC = ? Tuy nhiên, để tính các tỉ số lượng giác của góc C, ta cần tìm giá trị của cạnh BC. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để tìm giá trị này: BC^2 = AC^2 - AB^2 BC^2 = 15^2 - 8^2 BC^2 = 225 - 64 BC^2 = 161 BC = √161 Sau đó, ta có thể tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C: sin(B) = 15 / 8 cos(B) = BC / AB = √161 / 8 tan(B) = 15 / √161 sin(C) = 8 / 15 cos(C) = BC / AC = √161 / 15 tan(C) = 8 / √161

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 1$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}=\frac{xy}{2}(1)$

$2y\sqrt{x-1}=2\sqrt{y^2(x-1)}=2\sqrt{y(xy-y)}\leq y+(xy-y)=xy(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy$

Dấu "=" xảy ra khi $x=xy-x$ và $y=xy-y$
$\Leftrightarrow 2x=xy=2y$

$\Leftrightarrow x=y=2$

ĐKXĐ : \(x\ge1;y\ge1\)

Ta có \(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3xy}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\sqrt{y-1}-xy\right)+\left(4y\sqrt{x-1}-2xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2\sqrt{y-1}-y\right)+2y\left(2\sqrt{x-1}-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(4y-4-y^2\right)+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(4x-4-x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(y-2\right)^2+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(x-2\right)^2=0\) (1) 

Dễ thấy \(\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}>0;\dfrac{y}{2\sqrt{x-1}+x}>0\forall x;y\ge1\)

nên (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy x = y = 2 là nghiệm phương trình 

Ta có A và N cùng nhìn MC dưới góc 90 độ

=> AMNC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cungMN)

Xét tg ABN và tg CBM có

\(\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (cmt)

\(\widehat{ABC}\) chung

=> tg ABN đồng dạng tg CBM (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)

Xét tg vuông ABC

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{C}=\dfrac{AN}{CM}\) (đpcm)

1) \(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}{10}=1,5\)

\(\Rightarrow B=56^o\)

2) \(tan\left(\dfrac{B}{2}\right)=\dfrac{AI}{AB}\Rightarrow AI=AB.tan\left(\dfrac{B}{2}\right)\)

\(AI=10.tan\left(\dfrac{56}{2}\right)=10.0,5=5\left(cm\right)\)

3) \(BI^2=AI^2+AB^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow BI^2=5^2+10^2=25+100=125\)

\(\Rightarrow BI=\sqrt[]{125}=\sqrt[]{25.5}=5\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

\(AH.BI=AI.AB\Rightarrow AH=\dfrac{AI.AB}{BI}=\dfrac{5.10}{5\sqrt[]{5}}=\dfrac{10}{\sqrt[]{5}}=2\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

\(tan\alpha=3\Rightarrow cot\alpha=\dfrac{1}{3}\left(tan\alpha.cot\alpha=1\right)\)

\(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\Rightarrow cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+tan^2\alpha}=\dfrac{1}{1+9}=\dfrac{1}{10}\)

\(\Rightarrow cos^{ }\alpha=\dfrac{\sqrt[]{10}}{10}\)

\(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\Rightarrow sin\alpha=tan\alpha.cos\alpha=\dfrac{3\sqrt[]{10}}{10}\)

Xét tg vuông AMO và tg vuông ANO có

AO chung; OM=ON (bán kính (O))

=> tg AMO = tg ANO (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)

\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\) => AO là phân giác \(\widehat{MAN}\) (đpcm)

\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{AON}\) => AO là phân giác \(\widehat{MON}\) (đpcm)

a) Với x = 9 ta có : \(A=\dfrac{2\sqrt{9}}{3+\sqrt{9}}=1\)

b) \(B=\left(\dfrac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}\)

\(=\dfrac{15-\sqrt{x}+2.\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}:\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\) (đpcm)

c) \(P=A-6B=\dfrac{2\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}\)

Có \(P< 0\Leftrightarrow2\sqrt{x}-6< 0\) (Vì \(\sqrt{x}+3>0\forall x\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\Leftrightarrow0\le x< 9\)

=> x = 8 là giá trị nguyên lớn nhất để P < 0

a) Để giải tam giác ABC, chúng ta cần biết thêm một thông tin khác về tam giác, ví dụ như độ dài cạnh AC hoặc giá trị của một góc trong tam giác. Với thông tin hiện tại, không đủ để giải tam giác ABC.

b) Từ công thức cotC = AB/BC, và AB = 5cm, ta có:
cotC = 5/BC = 1/3
Vậy, cotC = 1/3.

c) Từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:
AB^2 + BC^2 = AC^2
8^2 + 15^2 = AC^2
64 + 225 = AC^2
289 = AC^2
AC = √289
AC = 17 cm

Vậy, độ dài cạnh AC của tam giác ABC là 17cm

a/

\(sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAD-sđcungBE\right)\) (góc có đỉnh ngoài hình tròn)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđcungAD-\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (1)

Ta có

\(sđ\widehat{AOD}=sđcungAD\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđcungAD=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}\) (2)

Ta có

BC = OB = R => tg BOC cân tại B \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{BOE}\) (góc ở đáy tg cân)

\(sđ\widehat{BOE}=sđcungBE\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{BOE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}-\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow2.sđ\widehat{ACO}=sđ\widehat{AOD}-sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow sđ\widehat{AOD}=3.sđ\widehat{ACO}\)

b/

Ta có

AB = R = OA = OB => tg OAB là tg đều

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}=180^o-\widehat{OBA}=180^o-60^o=120^o\)

Xét tg cân BOC có

\(\widehat{BCO}+\widehat{BOC}=180^o-\widehat{OBC}=180^o-120^o=60^o\)

Mà \(\widehat{BCO}=\widehat{BOC}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{BOC}=30^o\)

Xét tg AOC có

\(\widehat{AOC}=180^o-\left(\widehat{OAB}+\widehat{BOC}\right)=180^o-\left(60^o+30^o\right)=90^o\)

=> tg AOC vuông tại O

AC = AB + BC = 2R

\(\Rightarrow CO=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)