Đề bài là gì bạn

\(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\ =\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\\ =\dfrac{\left|\sqrt{3}-1\right|}{\left|\sqrt{3}+1\right|}+\dfrac{\left|\sqrt{3}+1\right|}{\left|\sqrt{3}-1\right|}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2+\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\dfrac{4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3^2}-1}\\ =\dfrac{8}{2}\\ =4\)

A = \(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\) + \(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\)  = \(\dfrac{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right).\left(2+\sqrt{3}\right)}}\)

A = \(\dfrac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{\sqrt{4-3}}\) = \(\dfrac{4}{1}\) = 4

Điều kiện: \(-\dfrac{65}{8}\le x\le2\)

\(1+8x+8^2=\sqrt{2-x}\\ \Rightarrow2-x=64x^2+1040x+4225\\ \Leftrightarrow64x^2+1041x+4223=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\simeq-7,735\\x\simeq-8,531\end{matrix}\right.\)

- Với \(0< x;y< 1\)

\(x^2>x^{2003}\left(1\right)\)

\(y^2>y^{2003}\left(2\right)\)

\(z^2>z^{2003}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow M=x^2+y^2+z^2>x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}=3\)

\(\Rightarrow\) Không có giá trị max của M.

- Với \(x;y\ge1\)

\(x^2\le x^{2003}\left(1\right)\)

\(y^2\le y^{2003}\left(2\right)\)

\(z^2\le z^{2003}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}=3\)

\(\Rightarrow Max\left(M\right)=3\left(x=y=z=1\right)\)

\(xy^2+2xy-8y+x=0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+2xy+x=8y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+2y+1\right)=8y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=8y\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2=\dfrac{8y}{x}=2^2.\dfrac{2y}{x}\left(x\ne0\right)\left(1\right)\)

Ta thấy \(VP=\left(y+1\right)^2\) là số chính phương lẻ hoặc chẵn

mà \(VP=2^2.\dfrac{2y}{x}\) là số chính phương chẵn \(\left(2^2;\dfrac{2y}{x}⋮2\right)\) và \(\dfrac{2y}{x}\) cũng là số chính phương

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\) là số chính phương chẵn

\(\Rightarrow y\) là số lẻ

Vậy để thỏa \(\left(1\right)\) ta thấy \(y=1;x=2\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;1\right)\right\}\left(x;y\in Z\right)\)

1. Nhân cả hai vế của phương trình với y, ta được:

xy^3 + 2xy^2 - 8y^2 + x = 0

2. Đặt z=xy, ta được:

z^3 + 2z^2 - 8z + x = 0

3. Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng phương pháp phân tích đa thức. Ta có:

z = (1 + 2 \sqrt{2}) \pm (1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{3}

4. Thay z bằng xy, ta được:

xy = (1 + 2 \sqrt{2}) \pm (1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{3}

5. Giải nghiệm nguyên cho x và y, ta được:

(x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)

Vậy, nghiệm nguyên của phương trình xy2+2xy−8y+x=0 là (1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1).

thumb_upthumb_down

share

Tìm trên Google