Xét n=1 thì biểu thức A = 3

Xét n>1:

Ta có: \(A=n^{2015}+n+1\)

\(=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Dễ nhận ra \(n^{2013}-1⋮n^3-1\Rightarrow n^{2013}-1=k\left(n^3-1\right)=k\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow n^2\left(n^{2013}-1\right)=k\left(n-1\right)n^2\left(n^2+n+1\right)=k'\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=k'\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(n^2+n+1\right)\left(k'+1\right)\)là hợp số

Vậy n=1

Vì \(\Delta ABC\)có \(A=90^O\)Theo định lí Py-ta-go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\)\(AC^2=29^2\)\(-21^2\)

\(\Rightarrow\)\(AC^2=\)\(841-\)\(441\)

\(\Rightarrow\)  \(AC^2=400\)

\(\Rightarrow\)\(AC=20\left(cm\right)\)

Gọi AE là phân giác của góc A( E thuộc BC)

Xét tam giác BAE và tam giác CAE có

AB=AC ( vì tam giác ABC cân tại A)

BAE=EAC( vì AD là tia phân giác của góc A)

Cạnh AE chung

=> Tam giác BAE= tam giác CAE

=>BE=EC

=> E là trung điểm của BC

=> AE là trung tuyến của BC

Ta có K là giao của 2 trung tuyến AD và BD

=> K là trọng tâm của tam giác ABC

Có I là trung điểm của AB

=>CI là trung tuyến của tam giác ABC

=>C,I,K thẳng hàng

3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

=(3ⁿ⁺²+3ⁿ)-(2ⁿ⁺²+2ⁿ)

=3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5

=3ⁿ.10-2^n-1.10

Vì \(n\in N\)* nên \(2^{n-1}\ge1\)

Có 3ⁿ.10 chia hết cho 10

2^n-1.10 chia hết cho 10

=>3ⁿ.10-2^n-1.10 chia hết cho 10

Vậy N chia hết cho 10

Ta có : N = 3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3ⁿ - 2ⁿ

              = (3^{n + 2} + 3ⁿ) - (2^{n + 2} + 2ⁿ)

              = 3ⁿ(3² + 1) - 2^{n - 1}(2³ + 2)

              = 3ⁿ.10 - 2^{n - 1}.10

           N = 10 . (3ⁿ - 2^{n - 1})

Mà n là số nguyên dương nên 3ⁿ , 2^{n - 1} là số nguyên => 3ⁿ - 2^{n - 1} là số nguyên

Nên 10 . (3ⁿ - 2^{n - 1}) chia hết cho 10 \(\forall n\) nguyên dương

Vậy N chia hết cho 10 \(\forall n\) nguyên dương