\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}\)

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}\)

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}\)

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}\)

`=`\(\sqrt{2}+1\)

Lời giải:

Tổng của hai số: $9999$

Tỉ số hai số: $10$

Hiệu số phần bằng nhau: $10-1=9$

Số bé là: $9999:9\times 1=1111$

Số lớn là: $1111\times 10=11110$

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

Xét tam giác \(DBC\) và tam giác \(ECB\) có: 

\(DB=CE\)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

\(BC\) cạnh chung

suy ra \(\Delta DBC=\Delta ECB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{CEB},\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)

suy ra tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) nên \(IB=IC\). 

\(AD=AB+BD=AC+CE=AE\) suy ra tam giác \(ADE\) cân tại \(A\)

suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\Rightarrow\widehat{IDE}=\widehat{IED}\)

suy ra tam giác \(IDE\) cân tại \(I\) nên \(ID=IE\).

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\) suy ra \(BC\) song song với \(DE\).

a,Vì AB =AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> AB + BD = AC + CE 

Hay AD = AE 

Xét tam giác ADC và AEB 

có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}chung\\AD=AE\left(cmt\right)\\AC=AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> Tam giác ADC = AEB 

=> \(\widehat{ACD}=\widehat{ABE}\)

hay \(\widehat{ACB}+\widehat{BCI}=\widehat{ABC}+\widehat{CBI}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ABC cân taị A)

=> \(\widehat{BCI}=\widehat{CBI}\)

=> Tam giác BIC cân tại I 

=> IB = IC 

Từ AD = AE (cmt)

=> Tam giác ADE cân tại A 

=> \(\widehat{D}=\widehat{E}\) hay \(\widehat{ADC}+\widehat{IDE}=\widehat{AEB}+\widehat{IED}\) (1)

Từ tam giác ADC = AEB => \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}\) (2)

Từ (1) ;(2) => \(\widehat{IDE}=\widehat{IED}\)

=> Tam giác IDE cân tại I => ID = IE

b, vì tam giác ABC cân tại A(gt) =>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\) (*)

Vì tam giác ADE cân tại A =>\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\) (**)

Từ (*);(**) => \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

=> BC \\ DE ( vì có 2 góc đồng vị bằng nhau)

Bài giải

Hùng có số viên bi là :

  ( 15 + 23 ) : 2 = 19 ( viên bi )

                  Đáp số : 19 viên bi .

`260 + 260 + 260 + 260 + 260 - 1000`

` = 260xx 1 + 260 xx 1 + 260 xx 1 + 260 xx 1 -1000`

`= 260 xx ( 1 + 1+1+1+1)-1000`

`= 1300-1000`

`=300`

 260 + 260 + 260 + 260+ 260 - 1000

= ( 260x5) - 1000

= 1300-1000

= 300

60-26,75- 13,2

= 33,25 - 13,2

=2005

\(60-26,75-13,2\)

\(=33,25-13,2\)

\(=20,05\)

\(A=1+2+2^2+...+2^{25}\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+...+2^{26}\)

\(\Rightarrow2A-A=2+2^2+2^3+...+2^{26}-\left(1+2+2^2+...+2^{25}\right)\)

\(\Rightarrow A=2^{26}-1\)

`A=1+2+2^2+2^3+....+2^25`

`2A=2+2^2+2^3+...+2^26`

`=>2A-A=2^26-2`

 4 × 5 × 1250 × 25 × 8

= ( 4x25) x (1250x8) x5

= 100x10000x5

=1000000x5

= 5000000

4 x 5 x 1250 x 25 x 8

= (4 x 25) x (1250 x 8) x 5

=    100    x    10000    x 5

=         1000000           x 5

                     5000000

\(1)\)

Gọi \(a,b,c\) là số bi của ba bạn Duy, An, Hưng \(\left(a,b,c\inℕ^∗\right)\)

Do số bi của ba bạn Duy, An, Hưng tỉ lệ với \(3,4,5\) nên \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\). Số bi của Duy nhiều hơn An là 15 viên bi nên \(b-a=15\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}=\dfrac{b-a}{4-3}=15\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{3}=15\Rightarrow a=45\\\dfrac{b}{4}=15\Rightarrow b=60\\\dfrac{c}{5}=15\Rightarrow c=75\end{matrix}\right.\)

\(2)\)

\(a,\) Gọi độ dài ba cạnh tam giác là \(a,b,c\left(a,b,c\inℕ^∗;a,b,c< 45\right)\)

Vì chu vi của tam giác bằng 45m nên \(a+b+c=45\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{a+b+c}{3+5+7}=\dfrac{45}{15}=3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{3}=3\Rightarrow a=9\\\dfrac{b}{5}=3\Rightarrow b=15\\\dfrac{c}{7}=3\Rightarrow c=21\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Vì tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20m nên \(a+c-b=20\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{a-b+c}{3-5+7}=\dfrac{20}{5}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{3}=4\Rightarrow a=12\\\dfrac{b}{5}=4\Rightarrow b=20\\\dfrac{c}{7}=4\Rightarrow c=28\end{matrix}\right.\)

\(3)\)

Gọi số giấy vụn ba lớp \(7A,7B,7C\) thu nhặt được là \(a,b,c\left(a,b,c\inℕ^∗\right)\)

Do ba lớp thu nhặt được 120kg giấy vụn nên \(a+b+c=120\). Số giấy vụn của ba lớp \(7A,7B,7C\) tỉ lệ với \(9,7,8\) nên \(\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{8}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{8}=\dfrac{a+b+c}{9+7+8}=\dfrac{120}{24}=5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{9}=5\Rightarrow a=45\\\dfrac{b}{7}=5\Rightarrow b=35\\\dfrac{c}{8}=5\Rightarrow c=40\end{matrix}\right.\)

\(4)\)

Gọi số bài ba bạn Nam, Bình, Cường làm được là \(a,b,c\left(a,b,c\inℕ^∗\right)\)

Do ba bạn Nam, Bình, Cường làm số bài toán tỉ lệ với \(3,5,4\) nên \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{4}\). Tổng số bài của Nam và Cường nhiều hơn Bình là 18 bài nên \(\left(a+c\right)-b=18\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{\left(a+c\right)-b}{3+4-5}=\dfrac{18}{2}=9\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{3}=9\Rightarrow a=27\\\dfrac{b}{5}=9\Rightarrow b=45\\\dfrac{c}{4}=9\Rightarrow c=36\end{matrix}\right.\)