a. Em tự giải

b.

Từ câu a ta có SAOB nội tiếp

Mà \(SA=SB\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow\widehat{SEA}=\widehat{SEB}\) (hai góc nt chắn 2 cùng bằng nhau của đường tròn ngoại tiếp SAOB)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=2\widehat{SEB}\) (1)

Do E là trung điểm CD \(\Rightarrow SE\perp CD\)

\(\Rightarrow E,A,B\) cùng nhìn SO dưới 1 góc vuông nên S,A,E,B,O cùng thuộc 1 đường tròn

Hay SAEB nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{AEB}+\widehat{ASB}=180^0\)

Theo câu a SAOB nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOB}+\widehat{ASB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{AOB}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=2\widehat{SEB}\)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H, AH cắt (O) tại K. Gọi I là trung điểm cạnh AH. Lấy điểm M thuộc cạnh KC, điểm N thuộc cạnh ME sao cho HM // BK và HN // BC. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh NI và NK, PE cắt MQ tại L. Đường thẳng qua L song song với AK cắt BK và SI lần lượt tại S và T. Chứng minh : Nếu $\tan B \cdot \tan C = 3$ thì L là trung điểm cạnh ST (B,C là góc tam giác ABC).

Sai đề bn ơi !!

ko làm đc thì đừng bảo sai đề bạn ơi

a) Tứ giác BNMC có:

\(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\) (do BM và CN là hai đường cao của \(\Delta ABC\))

\(\Rightarrow M,N\) cùng nhìn BC dưới một góc \(90^0\)

\(\Rightarrow BNMC\) nội tiếp

*) Gọi \(I\) là trung điểm của BC

\(\Delta BMC\) vuông tại M, có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow IM=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\) (1)

\(\Delta BNC\) vuông tại N, có NI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow IN=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow IM=IN=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\)

Vậy \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNMC

b) Do BNMC là tứ giác nội tiếp (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (góc ngoài tại đỉnh M bằng góc trong tại đỉnh B của tứ giác BNMC)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (cmt)

\(\Delta AMN\) ∽ \(\Delta ABC\) (g-g)

a: Xét tứ giác BNMC có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

nên BNMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

tâm I là trung điểm của BC

b: Ta có: BNMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BNM}+\widehat{BCM}=180^0\)

mà \(\widehat{BNM}+\widehat{ANM}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)

Xét ΔANM và ΔACB có

\(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{NAM}\) chung

Do đó: ΔANM~ΔACB

Gọi số dụng cụ mỗi ngày phải làm là x(dụng cụ), gọi số ngày phải hoàn thành là y(ngày)

(Điều kiện: \(x\in Z^+;y>0\))

Người thứ nhất làm vượt mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên làm xong công việc sớm 2 ngày nên ta có:

(x+3)(y-2)=xy

=>xy-2x+3y-6=xy

=>-2x+3y=6(1)

Người thứ hai làm kém định mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên hoàn thành lâu hơn 3 ngày nên ta có:
(x-3)(y+3)=xy

=>xy+3x-3y-9=xy

=>3x-3y=9

=>x-y=3(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\2x-2y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y+2x-2y=6+6\\x-y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=12\\x=y+3=15\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Số dụng cụ được giao là 12*15=180(dụng cụ)

a: 5-(x-6)=4(2x-3)

=>8x-12=5-x+6

=>8x-12=-x+11

=>9x=23

=>\(x=\dfrac{23}{9}\)

b: \(3-4x+24+6x=x+27+3x\)

=>\(4x+27=2x+27\)

=>2x=0

=>x=0

c: \(\left(x+5\right)\left(x-1\right)=2x\left(x-1\right)\)

=>\(2x\left(x-1\right)-\left(x+5\right)\left(x-1\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(2x-x-5\right)=0\)

=>(x-1)(x-5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

d: \(5\left(3x-2\right)-4\left(5-3x\right)=1\)

=>\(15x-10-20+12x=1\)

=>27x=1+30=31

=>\(x=\dfrac{31}{27}\)

a: Xét \(\left(\dfrac{MC}{2}\right)\) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>BD\(\perp\)DC tại D

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

b: ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)

1: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)CD

Xét tứ giác OKMB có \(\widehat{OKM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OKMB là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\left(3\right)\)

Xét ΔOHN vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có

\(\widehat{HON}\) chung

Do đó: ΔOHN~ΔOKM

=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{ON}{OM}\)

=>\(OK\cdot ON=OH\cdot OM\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(OK\cdot ON=R^2\)

=>\(OK\cdot ON=OC^2\)

=>\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)

Xét ΔOKC và ΔOCN có

\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)

\(\widehat{KOC}\) chung

Do đó: ΔOKC~ΔOCN

=>\(\widehat{OCN}=\widehat{OKC}\)

=>\(\widehat{OCN}=90^0\)

=>NC là tiếp tuyến của (O)