CM: A = n² + n ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

        A = n² + n

       A = n(n +1)

Vì n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên nhất định sẽ có một số chẵn, một số lẻ. mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = n(n+1) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N hay A = n² + n ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm)

Ta có n² + n = n( n + 1 )

Nếu n chẵn → n ⋮ 2 → [ n( n + 1 )] ⋮ 2

Nếu n lẻ → n + 1 chẵn → ( n + 1 ) ⋮ 2 → [ n( n + 1 )] ⋮ 2

Vậy với mọi số tự nhiên n thì ( n² + n ) ⋮ 2

- Chữ số 5 ở hàng nghìn => Hàng trăm, chục, đơn vị: 9 x 9 x 9 = 729 (cách chọn)

- Chữ số 5 hàng chục/ hàng trăm/ hàng đơn vị

=> Số cách chọn các hàng còn lại: 8 x 9 x 9 = 648 (cách chọn)

Số lượng số lập thoả mãn:

729 + 648 x 3= 2673 (số)

Đ.số: 2673 số

Cả hai vòi cùng chảy mỗi giờ chảy được 1/3 (bể nước)

Vòi thứ nhất chảy riêng, mỗi giờ chảy được 1/8 (bể nước)

Vòi thứ hai chảy riêng, mỗi giờ chảy được: 1/3 - 1/8 = 5/24 (bể nước)

Vòi thứ hai nếu chảy một mình thì bể nước đầy sau: 1: 5/24 = 24/5(giờ)= 4,8(giờ)

Đáp số: 4,8 giờ

Số tiền người đó có là:

\(7500\cdot4=30000\left(đồng\right)\)

Số tiền đó đủ mua số gạo tẻ là:

\(30000:6000=5\left(kg\right)\)

Đáp số: 5kg

1 người làm xong đoạn mương đó trong thời gian là:

\(6\cdot3=18\left(ngày\right)\)

9 người làm xong đoạn mương đó trong thời gian là:

\(18:9=2\left(ngày\right)\)

Đáp số: 2 ngày

Số ngày 9 người đào xong đoạn mương:

6 × 3 : 9 = 2 (ngày)