a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

c: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính BC

=>IE\(\perp\)EM tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Ta có: ΔIEB cân tại I

=>\(\widehat{IEB}=\widehat{IBE}\)

\(\widehat{MEI}=\widehat{MEH}+\widehat{IEH}=90^0\)

\(\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^0\)

mà \(\widehat{IEH}=\widehat{IBE}\)

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{BHK}\)

=>\(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

=>ME=MH

Ta có: \(\widehat{MEH}+\widehat{MEA}=\widehat{AEH}=90^0\)

\(\widehat{MHE}+\widehat{MAE}=90^0\)

mà \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

nên \(\widehat{MEA}=\widehat{MAE}\)

=>MA=ME

=>MA=MH

=>M là trung điểm của AH

a: Sửa đề: Trên cung nhỏ BC lấy điểm E

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)DB tại C

Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AF\cdot AE\left(1\right)\)

Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)

Xét ΔADB vuông tại A có AC là đường cao

nên \(CA^2=CD\cdot CB\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(AE\cdot AF=CB\cdot DC\)

Điều kiện:

 \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{x}=\dfrac{x^2+3}{x}\ge0\\\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\ge0\end{matrix}\right.\)

mà \(x^2\ge0\forall x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+3>0\forall x\\x^2+7>0\forall x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+3}{x}\ge0\\\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\2\left(x+1\right)>0\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x>0\)

\(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}=\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+3}{x}}=\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{x^2+3}{x}}\right)^2=\left[\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+3}{x}=\dfrac{\left(x^2+7\right)^2}{\left[2\left(x+1\right)\right]^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+3}{x}=\dfrac{x^4+14x^2+49}{4\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^4+14x^2+49}{4\left(x^2+2x+1\right)}=\dfrac{x^4+14x^2+49}{4x^2+8x+4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(4x^2+8x+4\right)}{x\left(4x^2+8x+4\right)}=\dfrac{x\left(x^4+14x^2+49\right)}{x\left(4x^2+8x+4\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3\right)\left(4x^2+8x+4\right)=x\left(x^4+14x^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(4x^2+8x+4\right)+3\left(4x^2+8x+4\right)=x\left(x^4+14x^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4+8x^3+4x^2+12x^2+24x+12=x^5+14x^3+49x\)

\(\Leftrightarrow4x^4+8x^3+16x^2+24x+12=x^5+14x^3+49x\)

\(\Leftrightarrow x^5-4x^4+14x^3-8x^3-16x^2+49x-24x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-4x^4+6x^3-16x^2+25x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-x^4-3x^4+3x^3+3x^3-3x^2-13x^2+13x+12x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x-1\right)-3x^3\left(x-1\right)+3x^2\left(x-1\right)-13x\left(x-1\right)+12\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^4-3x^3+3x^2-13x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^4-x^3-2x^3+2x^2+x^2-x-12x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^3\left(x-1\right)-2x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-12\left(x-1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x^3-2x^2+x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3-2x^2+x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3-3x^2+x^2-3x+4x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[x^2\left(x-3\right)+x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)\left(x^2+x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\\x^2+x+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\x=3\left(tm\right)\\x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{4}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\x=3\left(tm\right)\\\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}=0\end{matrix}\right.\)

Có: \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+x+4=0\) vô nghiệm

Vậy: \(x\in\left\{1;3\right\}\)

kinh thật!

Câu 1

∆' = [-(m + 1)]² - m(m + 2)

= m² + 2m + 1 - m² - 2m

= 1 > 0

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = 2(m + 1)/m

x₁x₂ = (m + 2)/m

Câu 3:

∆' = 4 - (2 - √3)(2 + √2)

= 4 - 4 - 2√2 + 2√3 + √6

= √6 + 2√3 - 2√2 > 0

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -4/(2 - √3)= -8 - 2√3

x₁x₂ = (2 + √2)/(2 - √3) = (2 + √2)(2 + √3)

2x + y = 3 ⇒ y = 3 - 2x (1)

Thế (1) vào phương trình x - 2y = m, ta có:

x - 2(3 - 2x) = m

⇔ x - 6 + 4x = m

⇔ 5x = m + 6

⇔ x = (m + 6)/5 (2)

Thế (2) vào (1), ta có:

y = 3 - 2.(m + 6)/5

Lại có x > y

⇔ (m + 6)/5 > 3 - 2(m + 6)/5

⇔ (m + 6)/5 + 2(m + 6)/5 > 3

⇔ 3(m + 6)/5 > 3

⇔ (m + 6)/5 > 1

⇔ m + 6 > 5

⇔ m > 5 - 6

⇔ m > -1

Vậy m > -1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > y

D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BCDE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BCE}\) (cùng chắn BE)

Lại có \(\widehat{BCE}=\widehat{BD'E'}\) (cùng chắn BE' của (O))

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BD'E'}\)

\(\Rightarrow DE||D'E'\) (hai góc đồng vị bằng nhau)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2=2x-m+3\) (1) 

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0\)

\(\Delta'=1-\left(m-3\right)>0\Rightarrow m< 4\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của (1) nên: \(x_1^2=2x_1-m+3\)

Thế vào:

\(x_1^2+12=2x_2-x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2x_1-m+3+12=2x_1-\left(m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=6\)

\(\Rightarrow x_2=x_1-6\)

Thế vào \(x_1+x_2=2\Rightarrow x_1+x_1-6=2\)

\(\Rightarrow x_1=4\Rightarrow x_2=-2\)

Thay vào \(x_1x_2=m-3\Rightarrow m-3=-8\)

\(\Rightarrow m=-5\) (thỏa mãn)

Với mọi x;y dương ta có:

\(3x^2+8y^2+14xy=\left(2x+3y\right)^2-\left(x-y\right)^2\le\left(2x+3y\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+8y^2+14xy}}\ge\dfrac{1}{2x+3y}\)

Áp dụng:

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:

\(P\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\dfrac{a+b+c}{5}=1185\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1975\)

Hai đường tròn cắt nhau tại tối đa 2 điểm, do đó 4 đường tròn cắt nhau tại tối đa là:

\(2.3+2.2+2.1=12\) điểm