Kẻ AH\(\perp\)BC tại H, AK\(\perp\)SH tại K

\(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=45^0\)
=>\(\widehat{BS;BA}=45^0\)

=>\(\widehat{SBA}=45^0\)

Xét ΔSAB vuông tại A có \(tanSBA=\dfrac{SA}{AB}\)

=>\(\dfrac{SA}{a}=tan45=1\)

=>SA=a

ΔABC vuông cân tại A

=>\(AB=AC=a\) và \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(AH=HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có: BC\(\perp\)AH

BC\(\perp\)SA

AH,SA cùng thuộc mp(SAH)

Do đó: BC\(\perp\)(SAH)

=>BC\(\perp\)AK

Ta có: AK\(\perp\)SH

AK\(\perp\)BC

SH,BC cùng thuộc mp(SBC)

Do đó: AK\(\perp\)(SBC)

=>AK là khoảng cách từ A đến mp(SBC)

ΔSAH vuông tại A

=>\(SH^2=SA^2+AH^2=a^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=a^2+\dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{3}{2}a^2\)

=>\(SH=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

Xét ΔSAH vuông tại A có AK là đường cao

nên \(AK\cdot SH=SA\cdot AH\)

=>\(AK\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=a\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

=>\(AK\cdot\sqrt{6}=a\sqrt{2}\)

=>\(AK=a\sqrt{\dfrac{2}{6}}=a\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi x ( m ) là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật ( x∈N${}^{}$, x > 0 )

Gọi y ( m )  là chiều rộng ban đầu của khu vườn hình chú nhật ( y∈N${}^{}$ , y > 0 )

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m, nên ta có phương trình:

( x + y ) . 2 = 200 

⇔ 2x + 2y = 200 ( 1 )

Do mở rộng đường giao thông nông thôn nên chiều dài vườn giảm 8 m và biết diện tích đất còn lại là 2080 cm² dùng để trồng cây, nên ta có phương trình:

( x - 8 ) . y = 2080  ( 2 )

Ta có: ( 1 )

2x + 2y = 200 

⇔ x + y = 100 

⇔ x = 100 - y 

Thay y vào ( 2 ), ta được:

( 100 -  y  - 8 ) . y  = 2080 

⇔ 92y - y² = 2080

⇔ - y² + 92y - 2080 = 0 

Giải phương trình, ta được:

$\{\frac{y=52}{y=40}$ 

=> 100 - 52 = 48 ( nhận )

=> 100 - 40 = 60 ( nhận )

Vậy chiều dài là 60 m và chiều rộng là 48 - 8 = 40 m

a: Gọi giá niêm yết của 1 cái bút là x(đồng)

(Điều kiện: x>0)

Giá của 1 cây bút trong 30 cây bút đầu tiên là:

\(x\left(1-20\%\right)=0,8x\left(đồng\right)\)

Giá của 1 cây bút từ cây thứ 31 là:

\(0,8x\cdot\left(1-40\%\right)=0,48x\left(đồng\right)\)

Tổng số tiền là 900000 đồng nên ta có:

\(0,8x\cdot30+0,48x\cdot10=900000\)

=>24x+4,8x=900000

=>28,8x=900000

=>x=31250(nhận)

vậy: Giá niêm yết của 1 cây bút là 31250 đồng

b: Số tiền còn lại sau khi mua 40 cây đầu tiên là:

1260000-900000=360000(đồng)

Số cây bút còn lại mua được là:

360000:(0,48*31250)=24(cây)

Tổng số cây bút mua được là:

40+24=64(cây)

$x^2+y^2+z^2=3xyz\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{x}{yz};\frac{y}{xz}$ ta có: $\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\ge 2\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{y}{x}}=\frac{2}{z}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge \frac{2}{x};\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\ge \frac{2}{y}$

$\Rightarrow \left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\right)+\left(\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)+\left(\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\right)\ge \frac{2}{z}+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le 3$

Lại có: $x^4+yz\ge 2\sqrt{x^{4}yz}=2x^2\sqrt{yz}\Rightarrow \frac{x^2}{x^4+yz}\le \frac{1}{2\sqrt{yz}}=\frac{1}{4}\mathrm{.2.}\frac{1}{\sqrt{y}}.\frac{1}{\sqrt{z}}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự $\frac{y^2}{y^4+xz}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{z});\frac{z^2}{z^4+xy}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$

Suy ra

$\begin{array}{c}P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le \frac{1}{4}(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\le \frac{3}{2}\\ =>P\le \frac{3}{2}\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.

Đặt \(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}\)

=>\(2A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}\)

=>\(2A-A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64}\)

=>\(A=1-\dfrac{1}{64}=\dfrac{63}{64}\)

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}\\ =1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-...-\dfrac{1}{64}\)

\(=1-\dfrac{1}{64}\)

\(=\dfrac{63}{64}\)

Giá ban đầu của 4 quyển sách là:

30600:(1-15%)=30600:0,85=36000(đồng)

=>Giá của 1 quyển sách là 36000:4=9000(đồng)

a: \(A\left(x\right)=-5x^3+3x^4-2x^4-4x^7+4x^7+2x-7\)

\(=\left(3x^4-2x^4\right)-5x^3+2x-7\)

\(=x^4-5x^3+2x-7\)

Bậc là 4

Hệ số cao nhất là 1

Hệ số tự do là -7

b: \(A\left(x\right)-M\left(x\right)=3x^4-5x^2+1\)

=>\(M\left(x\right)=A\left(x\right)-\left(3x^4-5x^2+1\right)\)

\(=x^4-5x^3+2x-7-3x^4+5x^2-1\)

\(=-2x^4-5x^3+5x^2+2x-8\)

c: \(N\left(x\right)=\dfrac{A\left(x\right)}{x^2-3x+1}=\dfrac{x^4-5x^3+2x-7}{x^2-3x+1}\)

\(=\dfrac{x^4-3x^3+x^2-2x^3+6x^2-2x-7x^2+21x-7-17x}{x^2-3x+1}\)

\(=x^2-2x-7-\dfrac{17x}{x^2-3x+1}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=k\)

=>\(x=3k;y=4k;z=5k\)

\(2x^2+2y^2-3z^2=-100\)

=>\(2\cdot\left(3k\right)^2+2\cdot\left(4k\right)^2-3\cdot\left(5k\right)^2=-100\)

=>\(18k^2+32k^2-75k^2=-100\)

=>\(-25k^2=-100\)

=>\(k^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

TH1: k=2

=>\(x=3\cdot2=6;y=4\cdot2=8;z=5\cdot2=10\)

TH2: k=-2

=>\(x=3\cdot\left(-2\right)=-6;y=4\cdot\left(-2\right)=-8;z=5\cdot\left(-2\right)=-10\)

\(\dfrac{x}{4}\) = \(\dfrac{2}{7}\)

 \(x\) = \(\dfrac{2}{7}\) \(\times\) 4

\(x\) =   \(\dfrac{8}{7}\)

Nếu mỗi bạn cùng thêm 15 viên bi thì Toán có nhiều hơn Văn 20 viên bi

=>Lúc đầu Toán cũng có nhiều hơn Văn 20 viên bi

Số viên bi ban đầu của Toán là:
(148+20):2=168:2=84(viên)

Số viên bi ban đầu của Văn là:

84-20=64(viên)

 Cách 1

Số bi lúc sau của hai bạn khi được thêm vào 15 viên là:

      148 + 15 + 15 = 178 (viên)

Số viên bi lúc sau của Toán là:

      (178 + 20) : 2 = 99 ( viên)

Số viên bi lúc sau của Văn là:

      (178 - 20 ) : 2 = 79 ( viên)

Số viên bi lúc đầu của Toán là:

      99 - 15 = 84 (viên)

Số viên bi lúc đầu của Văn là:

      79 - 15 = 64 (viên)

           Đ/S : Toán: 84 viên

                    Văn : 64 viên

Cách 2:

                   Giải

Tổng số viên bi lúc sau của Toán và Văn là:

         148 + 15 + 15 = 178 (viên)

Số viên bi lúc đầu của Toán là:

         (178 + 20) : 2 - 15 = 84 (viên)

Số viên bi lúc đầu của Văn là:

         (178 - 20) : 2 - 15 = 64 (viên)

                    Đ/S:Toán : 84 viên

                            Văn : 64 viên