ĐK \(x\ge-2\)

PT <=> \(2\left(x^2-x+6\right)=5\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{x+2}=a;\sqrt{x^2-2x+4}=b\left(a,b\ge0\right)\)

=> \(b^2+a^2=x^2-x+6\)

Khi đó (1)

<=> \(2\left(a^2+b^2\right)=5ab\)

<=> \(2a^2-5ab+2b^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2b\\a=\frac{1}{2}b\end{cases}}\)

+ \(a=2b\)=> \(\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2-2x+4}\)

<=> \(4\left(x^2-2x+4\right)=x+2\)

<=> \(4x^2-9x+14=0\)vô nghiệm 

+ \(b=2a\)=> \(\sqrt{x^2-2x+4}=2\sqrt{x+2}\)

<=> \(x^2-2x+4=4\left(x+2\right)\)

<=> \(x^2-6x-4=0\)

=> \(x=3\pm\sqrt{13}\)(tm ĐKXĐ )

Vậy \(x=3\pm\sqrt{13}\)

Đường cao của tam giác đều có cạnh là \(a\) được tính bởi công thức : \(h=a\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Gọi AD cắt đường tròn (ABC) tại E khác A. Ta dễ có các cặp tam giác đồng dạng sau:

\(\Delta\)ABD ~ \(\Delta\)CED (g.g), \(\Delta\)ACD ~ \(\Delta\)BED (g.g) => AB.CD = AD.CE và AC.BD = AD.BE

Khi đó hệ thức cần chứng minh trở thành: AB.AD.CE + AC.AD.BE - AD².BC = CD.DB.BC

<=> AD(AB.CE + AC.BE) - AD².BC = CD.DB.BC

=> AD(BC.AE) - AD².BC = CD.DB.BC (ĐL Ptolemy)

<=> AD.AE - AD² = CD.DB <=> AD.DE = CD.DB (Luôn đúng với hệ thức lượng đường tròn)

Do vậy hệ thức cần chứng minh là đúng. Vậy AB².CD + AC².DB - AD².BC = CD.DB.BC (đpcm).

a) \(-\frac{1}{2}\times\sqrt{2x+1}=-\frac{3}{4}\)

\(\sqrt{2x+1}=\frac{-3}{4}:\frac{-1}{2}\)

\(\sqrt{2x+1}=\frac{3}{2}\)

\(\left(\sqrt{2x+1}\right)^2=\frac{9}{4}\)

\(2x+1=\frac{9}{4}\)

\(2x=\frac{9}{4}-1\)

\(2x=\frac{5}{4}\)

\(x=\frac{5}{4}:2\)

\(x=\frac{5}{8}\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}|x+1|+|y+1|=5\left(1\right)\\|x+1|=4y-4\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (2) vào (1):

\(4y-4+|y-1|=5\left(3\right)\)

+Nếu \(y\ge-1\Rightarrow4y-4+y+1=5\Rightarrow5y=8\Rightarrow y=\frac{8}{5}\left(TM\right)\)

Thay y = 8/5 vào (2) ta có: 

\(|x+1|=4.\frac{8}{5}-4\)

\(\Leftrightarrow|x+1|=\frac{12}{5}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=\frac{12}{5}\\x+1=\frac{-12}{5}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{7}{5}\\x=-\frac{17}{5}\end{cases}}\)

+Nếu \(y\le-1\Rightarrow4y-4-y-1=5\Rightarrow3y=10\Rightarrow y=\frac{10}{3}\left(L\right)\)