Ta có:

\(\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)\ge4\)

\(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-3\ge0\)

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

\(\sqrt{ab}\le\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-3\)

\(\Rightarrow0\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+4\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-12\)

\(\Rightarrow0\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+6\right)\)

Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+6>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\ge0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\)

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^{^2}}{a+b}=a+b\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

a)

Đk: \(x+5\ge0\Rightarrow x\ge-5\)

\(\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12\\ \Leftrightarrow\sqrt{4\left(x+5\right)}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9\left(x+5\right)}=12\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x+5}-2\sqrt{x+5}+3\sqrt{x+5}=12\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x+5}=12\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+5}=4\\ \Leftrightarrow x+5=16\\ \Rightarrow x=11\)

b.

\(\sqrt{x^2-10x+25}=6\)

Đk: \(x^2-10x+25=\left(x-5\right)^2\ge0;\forall x\inℝ\)

\(\sqrt{x^2-10x+25}=6\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-5\right)^2}=6\\ \Rightarrow|x-5|=6\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5=6\\x-5=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=11\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Đs....

a) A=√(2-√3)2 + 2√3

       = |2-√3| + 2√3

       =  2 - √3 + 2√3

       = 2 + √3

b) B  = √18 - 2√50 +3√8 + ∛27

         = 3√2 - 10√2 + 6√2 + 3

         = 3 - √2

c) C = { 4 / ( √5 - 1 )  } - ( 10 / √5 ) + ( √125 / √5) + √2 ✖ √5/2 

        = 4(√5 + 1) / 4 - 2√5 + 5 + √5

        = 2√5 + 2 - 2√5 + 5 + √5

        = 7 + √5

a)2;b)3

Bạn viết đầy đủ hơn đc ko ạ ?

Sửa lại đề là tìm tất cả các số nguyên a nhé.

Ta có \(A=a^4+a^3+a^2=a^2\left(a^2+a+1\right)\)

Để ý rằng nếu \(a>0\) thì \(a^2+a+1>a^2\) và \(a^2+a+1< a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\) , hay \(a^2< a^2+a+1< \left(a+1\right)^2\). Dẫn đến \(a^2+a+1\) không là SCP và đương nhiên \(A=a^2\left(a^2+a+1\right)\) không là số chính phương.

Nếu \(a< -1\) thì \(a^2+a+1>a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\) và \(a^2+a+1< a^2\). Từ đó \(\left(a+1\right)^2< a^2+a+1< a^2\) hay \(a^2+a+1\) không phải là SCP, do đó \(A=a^2\left(a^2+a+1\right)\) không là số chính phương.

Do vậy \(-1\le a\le0\) hay \(a\in\left\{-1;0\right\}\). Thử lại, ta thấy cả 2 số này thỏa mãn.

Vậy để A có giá trị là số chính phương thì \(a\in\left\{-1;0\right\}\)

Em cảm ơn Lê Song Phương rất nhiều ạ