Cho ∆ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) chứng minh CF là tia phân giác góc EFD
b) chứng minh OC vuông góc ED
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mona Lisa:
Tác giả: Leonardo da Vinci
Thời điểm: 1503 - 1519
Nơi trưng bày: Bảo tàng Louvre, Paris, Pháp
Nổi tiếng từ: Thế kỷ 19
Màu sắc: Chủ yếu là màu nâu, vàng, đỏ và xanh lá
The Scream (Tiếng Thét):
Tác giả: Edvard Munch
Thời điểm: 1893 (bản đầu tiên), 1910 (bản sơn)
Nơi trưng bày:
Bản sơn: Phòng trưng bày Quốc gia, Oslo, Na Uy
Bản phấn màu: Bảo tàng Munch, Oslo, Na Uy
Nổi tiếng từ: Đầu thế kỷ 20
Màu sắc: Chủ yếu là màu đỏ, cam, vàng và xanh lam
Lưu ý:
Mona Lisa được vẽ bằng sơn dầu trên gỗ dương.
The Scream có 4 phiên bản: 2 bản vẽ bằng phấn màu và 2 bản vẽ bằng sơn.
Cả hai bức tranh đều được coi là những tác phẩm nghệ thuật biểu tượng và có giá trị cao.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H, AH cắt (O) tại K. Gọi I là trung điểm cạnh AH. Lấy điểm M thuộc cạnh KC, điểm N thuộc cạnh ME sao cho HM // BK và HN // BC. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh NI và NK, PE cắt MQ tại L. Đường thẳng qua L song song với AK cắt BK và SI lần lượt tại S và T. Chứng minh : Nếu $\tan B \cdot \tan C = 3$ thì L là trung điểm cạnh ST (B,C là góc tam giác ABC).
a) Tứ giác BNMC có:
\(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\) (do BM và CN là hai đường cao của \(\Delta ABC\))
\(\Rightarrow M,N\) cùng nhìn BC dưới một góc \(90^0\)
\(\Rightarrow BNMC\) nội tiếp
*) Gọi \(I\) là trung điểm của BC
\(\Delta BMC\) vuông tại M, có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\(\Rightarrow IM=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\) (1)
\(\Delta BNC\) vuông tại N, có NI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\(\Rightarrow IN=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow IM=IN=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\)
Vậy \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNMC
b) Do BNMC là tứ giác nội tiếp (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (góc ngoài tại đỉnh M bằng góc trong tại đỉnh B của tứ giác BNMC)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (cmt)
\(\Delta AMN\) ∽ \(\Delta ABC\) (g-g)
a: Xét tứ giác BNMC có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)
nên BNMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
tâm I là trung điểm của BC
b: Ta có: BNMC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BNM}+\widehat{BCM}=180^0\)
mà \(\widehat{BNM}+\widehat{ANM}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)
Xét ΔANM và ΔACB có
\(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{NAM}\) chung
Do đó: ΔANM~ΔACB
Gọi số dụng cụ mỗi ngày phải làm là x(dụng cụ), gọi số ngày phải hoàn thành là y(ngày)
(Điều kiện: \(x\in Z^+;y>0\))
Người thứ nhất làm vượt mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên làm xong công việc sớm 2 ngày nên ta có:
(x+3)(y-2)=xy
=>xy-2x+3y-6=xy
=>-2x+3y=6(1)
Người thứ hai làm kém định mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên hoàn thành lâu hơn 3 ngày nên ta có:
(x-3)(y+3)=xy
=>xy+3x-3y-9=xy
=>3x-3y=9
=>x-y=3(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\2x-2y=6\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y+2x-2y=6+6\\x-y=3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=12\\x=y+3=15\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
Số dụng cụ được giao là 12*15=180(dụng cụ)
a: Xét \(\left(\dfrac{MC}{2}\right)\) có
ΔCDM nội tiếp
CM là đường kính
Do đó: ΔCDM vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=90^0\)
nên ABCD là tứ giác nội tiếp
b: ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)
1: Ta có: ΔOCD cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK\(\perp\)CD
Xét tứ giác OKMB có \(\widehat{OKM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OKMB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
=>\(OH\cdot OM=R^2\left(3\right)\)
Xét ΔOHN vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có
\(\widehat{HON}\) chung
Do đó: ΔOHN~ΔOKM
=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{ON}{OM}\)
=>\(OK\cdot ON=OH\cdot OM\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OK\cdot ON=R^2\)
=>\(OK\cdot ON=OC^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)
Xét ΔOKC và ΔOCN có
\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)
\(\widehat{KOC}\) chung
Do đó: ΔOKC~ΔOCN
=>\(\widehat{OCN}=\widehat{OKC}\)
=>\(\widehat{OCN}=90^0\)
=>NC là tiếp tuyến của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BM}=sđ\stackrel\frown{CM}\)
=>BM=CM
=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC
=>OM đi qua trung điểm của BC
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=x\)
=>\(\dfrac{1}{2}x^2-x=0\)
=>\(x\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
Thay x=0 vào y=x, ta được:
y=x=0
Thay x=2 vào y=x, ta được:
y=x=2
Vậy: Tọa độ giao điểm là O(0;0); A(2;0)
a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{CAD}\)(EAFH nội tiếp)
\(\widehat{DFH}=\widehat{CBE}\)(BDHF nội tiếp)
mà \(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\left(=90^0-\widehat{ECB}\right)\)
nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)
=>FH là phân giác của góc EFD
=>FC là phân giác của góc EFD
b: Kẻ tiếp tuyến Cx của (O)
=>OC\(\perp\)Cx tại C
Xét tứ giác AEDB có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
nên AEDB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EDB}+\widehat{EAB}=180^0\)
mà \(\widehat{EDB}+\widehat{CDE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\)
Xét (O) có
\(\widehat{xCB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây cung CB
\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB
Do đó: \(\widehat{xCB}=\widehat{CAB}\)
=>\(\widehat{xCB}=\widehat{CDE}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Cx//DE
Ta có: Cx//DE
Cx\(\perp\)CO
Do đó: DE\(\perp\)OC