Cách 1: Ta nhận thấy với mọi \(x>0\) thì \(3\sqrt{x}+2>2\sqrt{x}+2\), do đó \(B>1\). Với \(x=0\) thì \(B=1\). Do đó \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)

 Cách 1 tuy nhanh gọn nhưng nó chỉ có tác dụng trong một số ít các trường hợp. Trường hợp này may mắn cho ta ở chỗ ta có thể đánh giá tử lớn hơn hoặc bằng mẫu với mọi \(x\ge0\) (dấu "=" chỉ xảy ra khi \(x=0\))

Cách 2: \(B=\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow2B\sqrt{x}+2B=3\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow\left(2B-3\right)\sqrt{x}=2-2B\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{2-2B}{2B-3}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\) nên \(\dfrac{2-2B}{2B-3}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\le B< \dfrac{3}{2}\). Như vậy \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)

 Rõ ràng cách 2 dài hơn cách 1 nhưng nó có thể áp dụng trong nhiều dạng bài tìm GTNN hay GTLN khác nhau. Bạn xem xét bài toán rồi chọn cách làm cho phù hợp là được.

B =  \(\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\sqrt{x}+3-1}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\) = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

Vì  \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) > 0 ∀ \(x\) ≥ 0 ⇒ B min ⇔A =  \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) max

2\(\sqrt{x}\) ≥ 0 ⇒ 2\(\sqrt{x}\) + 2 ≥ 2  ⇒ Max A = \(\dfrac{1}{2}\) ⇔ \(x\) = 0

Vậy Min B = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\)  =  1 ⇔ \(x\) = 0

\(2\left(x+1\right)-1=3\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)=3+1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x+1=4:2\)

\(\Leftrightarrow x+1=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{3^2}+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2^2}}-\sqrt{\sqrt{3^2}-2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|-\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)

\(3,\dfrac{\sqrt{9+6\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3\left(3+2\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2^2}+2\sqrt{2}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{2}+1\right|=\sqrt{2}+1\)

\(4,\sqrt{2+\sqrt{3}}:\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}:\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{3^2}+2\sqrt{3}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2\)

\(=\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1\)

Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$ (cm) 

Áp dụng tính chất tia phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Mà: $BD+DC=BC=20$

$\Rightarrow BD=20:(3+4).3=\frac{60}{7}$ (cm) 

Theo hệ thức lượng của tam giác vuông:

$HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2$ (cm) 

$CH=BC-HB=20-7,2=12,8$ (cm) 

$HD=BD-BH=\frac{60}{7}-7,2=\frac{48}{35}$ (cm)

Hình vẽ:

Để tính AB và AC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Với ∆ABC vuông tại A và BD là phân giác của góc B, ta có:

BD/BC = 3/4

Vì BD/BC = 3/4, ta có thể xác định giá trị của BD và CD:

BD = (3/4) * BC = (3/4) * 20cm = 15cm CD = BC - BD = 20cm - 15cm = 5cm

Với AB > AC, ta có thể gọi AB = x và AC = y (với x > y).

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:

AB^2 = AC^2 + BC^2

x^2 = y^2 + 20^2

Ta cũng biết rằng BD là phân giác của góc B, do đó:

AD = DC = 5cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD, ta có:

AB^2 = AD^2 + BD^2

x^2 = 5^2 + 15^2

x^2 = 25 + 225

x^2 = 250

Từ phương trình trên, ta có x = √250 = 5√10

Do đó, AB = 5√10 cm.

Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của y (AC).

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2

y^2 = 5^2 + 5^2

y^2 = 25 + 25

y^2 = 50

Từ phương trình trên, ta có y = √50 = 5√2

Do đó, AC = 5√2 cm.

Tóm lại, AB = 5√10 cm và AC = 5√2 cm.

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác: 

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}(1)$

$BC=BD+CD=75+100=175$

Theo định lý Pitago:

$AB^2+AC^2=BC^2=175^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AB=105; AC=140$ (cm) 

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{105^2}{175}=63$ (cm) - theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

$CH=BC-BH=175-63=112$ (cm)

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{105^2-63^2}=84$ (cm)

$HD=BD-BH=75-63=12$ (cm) 

$AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{84^2+12^2}=60\sqrt{2}$ (cm)

Hình vẽ:

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm) 

Áp dụng tính chất tia phân giác: 

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Mà: $AE+EC=AC=8$

$\Rightarrow EC=8:(3+5).5=5$ (cm) 

$AE=AC-EC=8-5=3$ (cm) 

$EB=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$ (cm)

Hình vẽ: