Gọi tam giác cân là ABC (cân tại A), đường cao AH.
Gọi cạnh đáy của tam giác cân là a, cạnh bên là b. Theo đề bài:
10a = 12b
=> a/b = 6/5
Đặt a = 6k, b = 5k
Xét tam giác AHC vuông tại H:
AH^2 + HC^2 = AC^2
<=> 10^2 + a^2/4 = b^2
<=> a^2/4 = b^2 - 100
<=> (6k)^2/4 = (5k)^2 - 100
<=> 9k^2 = 25k^2 - 100
<=> 16k^2 = 100 <=> k = 10/4
=> a = 6k = 6.10/4 = 15 (cm)
=> S_ABC = 1/2BC.AH = 1/2a.10 = 5a = 5.15 = 75 (cm^2)

Đặt $CD=x,$ $AC=y$.

Ta có: $10.x=6.y$ ($=S_{ABC}$)

Suy ra $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$.

Đặt $x=3t,$ $y=5t$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ACD$ tìm được $t=2$.

Vậy $x=6,$ $S_{ABC}=60c{m}^2$.

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

mà \(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\Rightarrow AB=\frac{5}{6}AC\Rightarrow AB^2=\left(\frac{5}{6}AC\right)^2\)

hay \(\frac{1}{900}=\frac{1}{\left(\frac{5}{6}AC\right)^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow AC=6\sqrt{55}\)

\(\Rightarrow AB=\frac{5}{6}.6\sqrt{55}=5\sqrt{55}\)

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow BC=\frac{AB.AC}{AH}=\frac{1650}{30}=\frac{165}{3}\)

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{1375}{\frac{165}{3}}=\frac{25}{9}\)

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{1980}{\frac{165}{3}}=4\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}\)=\(\dfrac{5}{6}\)

⇒ \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.HC}=\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{25}{36}\)

Đặt x= 25z, y= 36z

ΔABC vuông tại H có:

AH²= BH.HC ( Py-ta-go)

⇔30²= 25z.36z

⇔900z²= 900

⇔z²= 1

⇔z=1

Vậy x=25, y=36

tam giác ABC vuông tại A có AT là đường cao 

Áp dụng định lí Py ta go ta có : \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow25-AB^2=AC^2\)(1) 

* Theo hệ thức : \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AT^2}\Rightarrow\frac{1}{4}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{25-AB^2}\)( theo 1 ) 

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{5};\sqrt{5}\)

TH1 : \(25-\left(2\sqrt{5}\right)^2=AC\Rightarrow AC=\sqrt{5}\)

TH2 : \(25-\left(\sqrt{5}\right)^2=AC\Rightarrow AC=2\sqrt{5}\)

Gọi BH là z ( z>0), thì HC là 5-z

ΔABC vuông tại A có:

AH.BC=BH.HC (định lý 3)

⇔ 2² = z(5-z)

⇔ z² - 5z + 4 = 0

⇔ z(z-1) - 4(z-1) = 0

⇔(z-4)(z-1)=0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}z-4=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}z=4\left(nhận\right)\\z=1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

TH1:Nếu z=4

ΔABC vuông tại A có:

x²=BC.BH ( định lý 1)

⇔ x²= 5.4

⇔ x²= 20

⇒x=\(2\sqrt{5}\)

ta có: y²= BC.HC ( định lý 1)

Chứng minh tương tự như trên ta được

y= \(\sqrt{5}\)

TH2: Nếu z=1

Chứng minh tương tự như TH1 ta được:

x=\(\sqrt{5}\)

y= \(2\sqrt{5}\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao 

Áp dụng định lí Py ta go ta có : 

\(BC^2=AB^2+AC^2=36+64=100\Rightarrow BC=10\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}\)

hay \(x=\frac{18}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{64}{10}=\frac{32}{5}\)

hay \(y=\frac{32}{5}\)cm 

xét tam giác ABC ,ta có:

theo định lí py-ta-go :

BC=x+y=\(\sqrt{AB^2+AC^2}\)=\(\sqrt{6^2+8^2}\)=\(\sqrt{100}\)=10

\(6^2\)=10*x\(\Rightarrow\)x=\(\dfrac{6^2}{10}\)\(\Leftrightarrow\)x=3,6

y+x=10\(\Leftrightarrow\)y=10-3,6\(\Leftrightarrow\)y=6,4

Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH 

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=400-144=256\Rightarrow AC=16\)

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{256}{20}=\frac{89}{5}\)

hay \(y=\frac{89}{5}\)

*Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{144}{20}=\frac{36}{5}\)

hay \(x=\frac{36}{5}\)

\(12^2\)=20*x\(\Rightarrow\)x=\(\dfrac{12^2}{20}\)=7,2;

x+y=20\(\Leftrightarrow\)y=20-x\(\Leftrightarrow\)y=20-7,2\(\Leftrightarrow\)y=12,8

ΔABH vuông tại H có:

AH² = AB² - y² ( Py-ta-go)

⇔BH.HC = AB² - y²

⇔ 32y = 30² - y²

⇔ 32y + y² - 900 = 0

⇔ 50y + y² -18y - 900 = 0 

⇔ y(50 + y) - 18( y + 50) = 0 

⇔(y -18)(50+y)= 0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}y-18=0\\50+y=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}y=18\left(nhận\right)\\y=-50\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

ΔABC vuông tại A có:

x²= BC² - AB² ( py-ta-go)

⇔x²= (18 + 32)² - 30²

⇔x²= 1600

⇒x=40 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\)( mà \(BC=BH+HC=BH+32\))

\(\Rightarrow BH=\frac{900}{BH+32}\Rightarrow BH=18\)

hay \(y=18\)

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC\)( mà \(BC=HC+BH=32+18=40\))

\(\Rightarrow AC^2=32.40=1280\Rightarrow AC=16\sqrt{5}\)

hay  \(x=16\sqrt{5}\)

Áp dụng định lí Py ta go ta có : \(AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow AH^2=AC^2-HC^2\)

\(=100-64=36\Rightarrow AH=6\)cm 

* Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AC^2}\)

\(=\frac{1}{36}-\frac{1}{100}=\frac{100-36}{3600}=\frac{64}{3600}\Rightarrow AB^2=\frac{3600}{64}\Rightarrow AB=\frac{15}{2}\)

hay \(x=\frac{15}{2}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=BH.HC\Rightarrow BH=\frac{AH^2}{HC}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\)

hay \(y=\frac{9}{2}\)cm