Tìm giá trị nguyên của x,y sao cho x3 - y3 =2010
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3a^3b^2}{b^2}}=3a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+c^2\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3b^3c^2}{c^2}}=3b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+a^2\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3c^3a^2}{a^2}}=3c^2\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)(1)
Ta cần c/m: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(điều đúng)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(2)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Từ (1) và (2) suy ra \(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Đúng rồi! Tham khảo thêm một cách nhé:
\(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\) ( Svác - xơ )
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac\)
"=" <=> a= b= c.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(a^2 +b^2 ) (x^2 + y^2 ) >= (ax +by )^2
<=> a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2 >= a^2 x^2 + b^2 y^2 + 2axby
<=> a^2 y^2 + b^2 x^2 - 2axby >= 0
<=> (ay - bx )^2 >= 0 ( luôn đúng với mọi a b x y )
Dấu đẳng thức xảy ra khi ax = by
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)