\(\dfrac{\left(3x-2\right)\left(5-x\right)}{2-7x}\)=\(\dfrac{3x^2-17x+10}{7x-2}\)≥0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2-17x-10\ge0\\7x-2>0\end{matrix}\right.\)=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{\left(17-\sqrt{409}\right)}{6}\\x\ge\dfrac{\left(17+\sqrt{409}\right)}{6}\end{matrix}\right.\\x>\dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\)=> x≥\(\dfrac{\left(17+\sqrt{409}\right)}{6}\)

TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2-17x-10\le0\\7x-20< 0\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{17-\sqrt{409}}{6}\le x\le\dfrac{17+\sqrt{409}}{6}\\x< \dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\)=>\(\dfrac{17-\sqrt{409}}{6}\le x< \dfrac{2}{7}\)

678: 6

\(=\sin^2x+\dfrac{1}{2}\left[\cos\dfrac{2\Pi}{3}+\cos\left(-2x\right)\right]=\)

\(=\sin^2x+\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}+\cos^2x-\sin^2x\right)=\)

\(=\sin^2x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cos^2x-\dfrac{1}{2}\sin^2x=\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\left(dpcm\right)\)

phương trình vô nghiệm VP <0 VT>1

\(=\cos^4x+2\cos^2x\sin^2x+\sin^4x=\)

\(=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)^2=1\)

\(cos^2x\left(2sin^2x+cos^2x\right)+sin^4x=cos^4x+2sin^2x.cos^2x+sin^4x\)

\(=\left(cos^2x+sin^2x\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-3x+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2-3x+1>-\left(x+1\right)\\4x^2-3x+1< x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2-2x+2>0\\4x^2-4x< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0< x< 1\)

NNNNN

\(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\) tâm \(I\left(1,2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AI\) vuông góc với \(BC\), \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AI=2d\left(I,BC\right)\Rightarrow d\left(I,BC\right)=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{R}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Ta có: \(AI\) đi qua \(A\left(0,-1\right)\) và \(I\left(1,2\right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(AI\) là \(3x-y-1=0\) suy ra \(BC\): \(x+3y+c=0\)

\(d\left(I,BC\right)=\dfrac{\left|1+3.2+c\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|c+7\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=-12\end{matrix}\right.\)

Với \(c=-12\): \(BC:x+3y-12=0\) 

\(\left(0-3-12\right)\left(1+2.3-12\right)>0\) nên \(A,I\) nằm cùng phía so với \(BC\) (loại).

Vậy \(c=-2\): \(BC:x+3y-2=0\)

Tọa độ hai điểm \(B,C\) chính là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đường tròn \(\left(C\right)\). 

\(x+3y-2=0\Leftrightarrow x=2-3y\)

\(\left(2-3y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1-3\sqrt{3}}{2}\\y=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1+3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có tọa độ hai điểm \(B,C\).

Đường tròn (C) có tâm \(I\left(\dfrac{3}{2};-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(-\dfrac{5}{2};5\right)=-\dfrac{5}{2}\left(1;-2\right)\)

Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M nên \(IM\perp d\Rightarrow d\) nhận (1;-2) là 1 vtpt

Phương trình tiếp tuyến d:

\(1\left(x+1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+7=0\)