a/

Xét tg vuông BAC có 

BA=BC => tg BAC cân tại B => \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=45^o\)

Xét tg vuông BEC có 

BE=BA=BC => tg BEC cân tại B => \(\widehat{BEC}=\widehat{BCE}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BEC}=45^o\)

Xét tg vuông BAC và tg vuông BEC có

BC chung; BA=BE => \(\Delta BAC=\Delta BEC\) (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) 

\(\Rightarrow CA=CE\Rightarrow\Delta ACE\) cân tại C (1)

Xét \(\Delta ACE\)

\(\widehat{ACE}=180^o-\left(\widehat{BAC}+\widehat{BEC}\right)=180^o-\left(45^o+45^o\right)=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => TG ACE vuông cân tại C

b/

Xét tg vuông AHE có

MA=MH; NE=NH => MN là đường trung bình của tg AHE

=> MN//AB; \(MN=\frac{AE}{2}=AD=BC\)  => MN//BC; \(MN=BC\)

=> BMNC là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

c/

Ta có

\(AH\perp BN\) (1)

MN//BC; \(BC\perp AB\Rightarrow MN\perp AB\)  (2)

Từ (1) và (2) => M là giao của các đường cao trong \(\Delta ANB\) => M là trực tâm của \(\Delta ANB\)

d/

Ta có M là trực tâm \(\Delta ANB\Rightarrow BM\perp AN\)

Mà BM//CN (cạnh đối hbh)

\(\Rightarrow CN\perp AN\Rightarrow\widehat{ANC}=90^o\)

a) Xét \(\Delta\)ABC có: BF là trung tuyến;CF là trung tuyến

=> F trung điểm AB;E trung điểm AC

Do đó => EF là đường trung bình của \(\Delta\)ABC

=> EF=1/2BC;EF//BC (1)

Lại có: M trung điểm BG;N trung điểm CG (gt)

=> MN là đường trung bình của \(\Delta\)GBC

=> MN=1/2BC;MN//BC (2)

Từ (1) và (2) => FE=MN;FE//MN

=>MNEF là hbh ( 2 cạnh đối // và = nhau)

b) Ta có MNEF là hbh 

 Để MNEF là hcn thì ME_|_ EF

Mặt khác: ME_|_ EF

                EF//BC ( EF đường tb)=>FG//BC

               (ME là đường tb vì M trung điểm BG;BE trung tuyến)=>ME//AF=>MG//AG

Nên: AF_|_BC

=> ^B=^C=90 độ

=> ABC cân thì MNEF là hcn 

Để MNEF là hình thoi thì EF=FM

Vì EF là đường tb của t/gABC => EF=1/2BC

    MF là đường tb của t/gBFE=>MF=1/2FE 

=> G là trọng tâm của t/gABC

=> AG=2/3BC

Nếu có điểm = AG thì đánh ở giữa BC ( o chắc )

=> MNEF là hcn thì AG=2/3BC

làm lại câu b 

Bài 1: 

a) \(x^2-2xy+y^2-36=\left(x-y\right)^2-6^2=\left(x-y+6\right)\left(x-y-6\right)\)

b) \(x\left(x-y\right)-5\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-5\right)\)

c) \(x^2-4x-5=x^2+x-5x-5=x\left(x+1\right)-5\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x-5\right)\)

Bài 2:

a) \(\frac{x^2-9}{2x+6}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2\left(x+3\right)}=\frac{x-3}{2}\)

b) \(\frac{x^2-4x+4}{4-2x}=\frac{\left(x-2\right)^2}{2\left(2-x\right)}=\frac{\left(2-x\right)^2}{2\left(2-x\right)}=\frac{2-x}{2}\)

Bài 3: 

a) \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-x^3+18=\left(x^3-8\right)-x^3+18=10\)

b) \(\left(2x-1\right)^2-2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)^2=\left[\left(2x-1\right)-\left(2x+1\right)\right]^2=\left(-2\right)^2=4\)

Bài 4:

a) đkxđ: \(\hept{\begin{cases}x-2\ne0\\x+2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\pm2\)

\(D=\frac{1}{x+2}-\frac{2x}{4-x^2}+\frac{1}{x-2}\)\(=\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{2x}{x^2-4}+\frac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)\(=\frac{x-2+2x+x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{4x}{x^2-4}\)

b) Tại \(x=3\)\(\Rightarrow D=\frac{4x}{x^2-4}=\frac{4.3}{3^2-4}=\frac{12}{9-4}=\frac{12}{5}\)

Vậy giá trị của D là \(\frac{12}{5}\)tại x = 3.

Bài 5:

Hình thì bạn tự vẽ nhé.

a) Theo giả thiết cho, ta dễ dàng chứng minh các góc EAF, AED và AFD đều bằng 90⁰, từ đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật theo định nghĩa.

b) Để tứ giác AEHF là hình vuông thì hình chữ nhật AEHF (cmt) phải có AD là tia phân giác của \(\widehat{EAF}\), hay AD là đường phân giác trong \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow\)D là chân đường phân giác hạ từ A đến BC của \(\Delta ABC\)

c) Dễ thấy \(\widehat{EAH}=\widehat{FCH}\)(vì cùng phụ với \(\widehat{B}\))

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (cmt) \(\Rightarrow AE=DF\)

Xét \(\Delta ACH\)và \(\Delta DCF\), ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{DFC}\left(=90^0\right)\)và \(\widehat{C}\)chung

\(\Rightarrow\Delta ACH~\Delta DCF\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AH}{DF}=\frac{CH}{CF}\)

Vì \(DF=AE\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{CH}{CF}\Rightarrow\frac{CF}{AE}=\frac{CH}{AH}\)

Xét \(\Delta CHF\)và \(\Delta AHE\), ta có: \(\frac{CF}{AE}=\frac{CH}{AH}\left(cmt\right)\)và \(\widehat{FCH}=\widehat{EAH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta CHF~\Delta AHE\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{CHF}=\widehat{AHE}\)

Mặt khác, ta có: \(\widehat{CHF}+\widehat{AHF}=\widehat{AHC}=90^0\Rightarrow\widehat{AHE}+\widehat{AHF}=90^0\Rightarrow\widehat{EHF}=90^0\)(đpcm)

Thực hiện phép chia đa thức ta được: 

\(x^4+2x^3-ax^2+5x+b=\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+1-a\right)+\left(a+6\right)x+\left(-2a+b+2\right)\)

Để \(r\left(x\right)=3x+4\)thì \(\hept{\begin{cases}a+6=3\\-2a+b+2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}}\).