TH1: chỉ có mặt 3 chữ số 0,3,4

- Chữ số 0 lặp 3 lần: chọn 3 vị trí cho số 0 có \(C_4^3\) cách, xếp 2 chữ số còn lại có 2 cách \(\Rightarrow2.C_4^3\) số

- Chữ số 3 hoặc 4 lặp 3 lần: chọn vị trí cho số 0 có 4 cách, chọn 3 vị trí cho số lặp 2 lần có \(C_4^3\) cách, còn 1 vị trí cho số còn lại \(\Rightarrow2.4.C_4^3\) số

- Chữ số 0 và 3 lặp 2 lần, hoặc 0 và 4 lặp 2 lần: chọn 2 vị trí cho số 0 có \(C_4^2\) cách, chọn vị trí cho 2 số 3 (hoặc 4) có \(C_3^2\) cách \(\Rightarrow2.C_4^2.C_3^2\) số

- Chữ số 3 và 4 lặp 2 lần: chọn vị trí cho số 0 có 4 cách, chọn 2 vị trí cho số 3 có \(C_4^2\) cách, chọn 2 vị trí cho số 4 có \(C_2^2=1\) cách \(\Rightarrow4.C_4^2\) số

TH2: số đã cho có mặt 4 chữ số khác nhau.

Chọn 1 chữ số nữa (từ 1;2;5;6;7;8;9) có 7 cách

- Số 0 lặp 2 lần: chọn 2 vị trí cho số 0 có \(C_4^2\) cách, xếp 3 chữ số còn lại có \(3!\) cách \(\Rightarrow7.C_4^2.3!\) số

- Số 0 có mặt 1 lần: chọn số lặp 2 lần có 3 cách, chọn vị trí cho số 0 có 4 cách, chọn 2 vị trí cho số lặp có \(C_4^2\) cách, hoán vị 2 chữ số còn lại có \(2!\) cách \(\Rightarrow7.3.4.C_4^2.2!\) số

TH3: số đã cho có mặt 5 chữ số khác nhau: chọn 2 chữ số nữa có \(C_7^2\) cách

Hoán vị 5 chữ số: \(5!-4!\) cách \(\Rightarrow C_7^2.\left(5!-4!\right)\) số

Cộng các trường hợp lại được kết quả

Xếp 2 người Việt cạnh nhau: 2 cách

Xếp 3 người Pháp cạnh nhau: \(3!=6\) cách

Với người Nhật, có 2 trường hợp thỏa mãn:

TH1: 4 người Nhật ngồi cạnh nhau: có \(4!\) cách

Hoán vị bộ Nhật - Pháp - Việt có \(3!\) cách

TH2: 4 người Nhật chia làm 2 cặp và 2 cặp này ko ngồi cạnh nhau

Chia 4 người Nhật làm 2 cặp: \(A_4^2.A_2^2=24\) cách (đã xếp thứ tự)

Xếp 2 nhóm Việt và Pháp: \(2!=2\) cách

2 nhóm Việt - Pháp tạo ra 3 khe trống, xếp 2 nhóm người Nhật vào 3 khe trống: \(C_3^2=3\) cách

\(\Rightarrow2.6.\left(4!.3!+24.2.3\right)=3456\) cách

Điều này tương đương ko có cạnh nào của lục giác được tạo ra từ 2 đỉnh liền nhau của đa giác

Chọn 1 đỉnh \(A_1\) có 108 cách

Chọn 5 đỉnh còn lại \(A_2A_3A_4A_5A_6\) sao cho giữa \(A_1A_2\) có \(x_1\) đỉnh, giữa \(A_2A_3\) có \(x_2\) đỉnh, ..., giữa \(A_6A_1\) có \(x_6\) đỉnh với \(x_1;x_2;...;x_6\) là các số nguyên dương

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=108-6=102\)

Theo nguyên lý chia kẹo Euler, pt trên có \(C_{101}^5\) bộ nghiệm nguyên dương

\(\Rightarrow\dfrac{108.C_{101}^5}{6}\) lục giác thỏa mãn

Không gian mẫu: \(C_{2n}^3\)

Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo đi qua tâm O

Chọn 1 đường chéo có n cách

Chọn 1 điểm kết hợp với đường chéo tạo thành tam giác vuông (nội tiếp chắn nửa đường tròn): có \(2n-2\) cách

\(\Rightarrow n\left(2n-2\right)\) tam giác vuông

Xác suất: \(P=\dfrac{n\left(2n-2\right)}{C_{2n}^3}=\dfrac{1}{13}\Rightarrow26n\left(n-1\right)=C_{2n}^3\)

\(\Rightarrow26n\left(n-1\right)=\dfrac{n.\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}\)

\(\Rightarrow n^2-21n+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\left(loại\right)\\n=20\end{matrix}\right.\)

Gọi số có dạng \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_6a_6}\)

Do số chẵn nên \(a_6\) có 5 cách chọn

\(a_5\) có 9 cách chọn (khác \(a_6\))

\(a_4\) có 9 cách chọn (khác \(a_5\))

....

\(a_2\) có 9 cách chọn (khác \(a_3\))

\(a_1\) có 8 cách chọn (khác 0 và \(a_2\))

\(\Rightarrow5.9.9.9.9.8\) số thỏa mãn

Chia các số từ 1 đến 100 thành 3 nhóm: 

\(A=\left\{3;6;9;...;99\right\}\) gồm 33 số chia hết cho 3

\(B=\left\{1;4;7;...;100\right\}\) gồm 34 số chia 3 dư 1

\(C=\left\{2;5;8;...;98\right\}\) gồm 33 số chia 3 dư 2

Tổng 3 số chia hết cho 3 khi: cả 3 số cùng số dư khi chia 3 - hay cùng thuộc 1 tập, 3 số thuộc 3 tập khác nhau

\(\Rightarrow C_{33}^3+C_{34}^3+C_{33}^3+C_{33}^1.C_{34}^1.C_{33}^1\) trường hợp thỏa mãn

Xác suất: \(P=\dfrac{C_{33}^3+C_{34}^3+C_{33}^3+C_{33}^1.C_{34}^1.C_{33}^1}{C_{100}^3}=\dfrac{817}{2450}\)

Từ đề bài ta suy ra trong 7 chữ số có đúng 1 chữ số có mặt 2 lần, 6 chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần

Không gian mẫu: \(7.C_8^2.6!=141120\) số

TH1: chữ số có mặt 2 lần là chữ số lẻ.

Chọn chữ số lẻ lặp 2 lần có: 4 cách

Xếp vị trí cho 4 chữ số lẻ (có 1 số lặp 2 lần): \(C_5^2.3!=60\) cách

5 chữ số lẻ tạo thành 6 khe trống, xếp 3 chữ số chẵn vào 6 khe trống: \(A_6^3\) cách

TH2: chữ số có mặt 2 lần là chữ số chẵn.

Chọn chữ số chẵn có mặt 2 lần: 3 cách

Xếp vị trí cho 4 chữ số lẻ: \(4!\) cách

4 chữ số lẻ tạo thành 5 khe trống, chọn 2 vị trí cho chữ số chẵn lặp 2 lần: \(C_5^2\) cách

Xếp 3 chữ số chẵn còn lại: \(3!\) cách

\(\Rightarrow4.60.A_6^3+3.4!.C_5^2.3!=33120\) số

Xác suất: \(\dfrac{33120}{141120}=\dfrac{23}{98}\)

Không gian mẫu: \(9.9.9.9.9=9^5\)

Chọn 3 chữ số từ 9 chữ số {1;2;...;9} có \(C_9^3\) cách

TH1: 1 chữ số lặp 3 lần, 2 chữ số có mặt 1 lần

Chọn 3 vị trí cho chữ số lặp 3 lần: \(C_5^3\) cách

Chọn 2 vị trí còn lại cho 2 chữ số kia: \(2!\) cách

TH2: 2 chữ số lặp 2 lần, 1 chữ số có mặt 1 lần

Chọn vị trí cho các chữ số lặp 2 lần: \(C_5^2.C_3^2\) cách

Còn lại 1 vị trí, có đúng 1 cách chọn cho chữ số còn lại

\(\Rightarrow C_9^3.\left(C_5^3.2!+C_5^3.C_3^2.1\right)\) số thỏa mãn

Xác suất: \(P=\dfrac{C_9^3.\left(C_5^3.2!+C_5^2.C_3^2.1\right)}{9^5}=\dfrac{1400}{19683}\)

Các bộ số có tổng bằng 10 là: (1;4;5);(2;3;5);(1;2;3;4)

\(\Rightarrow\) Có \(3!+3!+4!=36\) số có tổng bằng 10

Không gian mẫu: \(A_5^2+A_5^3+A_5^4+A_5^5=320\)

Xác suấtL \(P=\dfrac{36}{320}=\dfrac{9}{80}\)