a) Ta có: AB² + AC² = 15² + 20² = 25².

\(\Rightarrow\) BC = 25.

Nên theo định lí Py ta go ( mình trình bày mong bạn thông cảm)

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC vuông

b). \(\Delta ACH\approx\Delta BCA\) ( gg ) ( do góc H = góc A = 90; góc C chung ).

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{20}{HC}=\dfrac{25}{20}\Rightarrow HC=\dfrac{20.20}{25}=16\) ( cm ).

c). Ta có: \(MN//AC\)  ( đtb ).

mà \(AC\text{⊥ }AB\)

\(\Rightarrow MN\text{⊥ }AB\)

Xét \(\Delta BIM\) và \(\Delta NBM\) ( gg ).

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{IM}=\dfrac{NM}{BM}\Leftrightarrow BM^2=IM.NM\)

Xét tg cân ABC có

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^o-100^o}{2}=40^o\)

Do BD là phân giác \(\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\dfrac{40^o}{2}=20^o\)

Trong đoạn BC lấy E sao cho BE=BD

=> tg BID cân tại B => BD=BE (1)

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BED}=\dfrac{180^o-\widehat{CBD}}{2}=\dfrac{180^o-20^o}{2}=80^o\)

Xét tg CDE có

\(\widehat{BED}=\widehat{ACB}+\widehat{CDE}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\widehat{CDE}=\widehat{BED}-\widehat{ACB}=80^o-40^o=40^o=\widehat{ACB}\)

=> tg CDE cân tại E => ED=EC (2)

Xét tg ABD có

\(\widehat{ADB}=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{ABD}=180^o-100^o-20^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ADB}+\widehat{BDE}=60^o+80^o=140^o\)

Xét tứ giác ABED có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ADE}=40^o+140^o=180^o\) 

=> ABED là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối nhau =

180 độ là tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{EBD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ED)

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{DAE}\) => tg DAE cân tại D => ED=AD (3)

Từ (1) (2) (3) => BD+AD=BE+EC=BC (đpcm)

a/

AM+AN=2AB

Mà

AM=AB-BM

AN=AC+CN

tg ABC cân tại A => AB=AC

=> AB-BM+AB+CN=2AB => BM=CN

b/

Từ N dựng đường thẳng //AB cắt BC kéo dài tại D

Ta có

\(\widehat{ABC}=\widehat{CDN}\) (góc so le trong) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân ABC) (2)

\(\widehat{ACB}=\widehat{DCN}\) (góc đối đỉnh) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{CDN}=\widehat{DCN}\) => tg NCD cân tại N => CN=DN

Mà CN=BM (cmt) 

=> BM=DN mà DN//BM => BMDN là hình bình hành (Tứ giác có cawoj cạnh đối // và = nhau là hbh)

=> IM=IN (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 3-x+3x^2=5-10x$

$\Leftrightarrow 3x^2+9x-2=0$

$\Leftrightarrow 9x^2+27x-6=0$

$\Leftrightarrow (3x+\frac{9}{2})^2=\frac{105}{4}$

$\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{105}}{6}-\frac{3}{2}$

`[x+1]/x=[x^2+1]/x^2`            `Đ K:x \ne 0`

`<=>[x(x+1)]/[x^2]=[x^2+1]/x^2`

  `=>x^2+x=x^2+1`

`<=>x=1` (t/m)

Vậy `S={1}`

`i)90/x-36/[x-6]=2`       `ĐK: x \ne 0,x \ne 6`

`<=>[90(x-6)-36x]/[x(x-6)]=[2x(x-6)]/[x(x-6)]`

  `=>90x-540-36x=2x^2-12x`

`<=>2x^2-66x+540=0`

`<=>2x^2-30x-36x+540=0`

`<=>(x-15)(2x-36)=0`

`<=>x=15` hoặc `x=18`    (t/m)

Vậy `S={15;18}`

_______________________________________________________

`k) 1/x+1/[x+10]=1/12`             `ĐK: x \ne 0,x \ne -10`

`<=>[12(x+10)+12x]/[x(x+10)]=[x(x+10)]/[12x(x+10)]`

  `=>12x+120+12x=x^2+10x`

`<=>x^2-14x-120=0`

`<=>x^2-20x+6x-120=0`

`<=>(x-20)(x+6)=0`

`<=>x=20` hoặc `x=-6`   (t/m)

Vậy `S={-6;20}`

_______________________________________________________

`l)[x+3]/[x-3]-1/x=3/[x(x-3)]`        `ĐK:x \ne 0,x \ne 3`

`<=>[x(x+3)-x+3]/[x(x-3)]=3/[x(x-3)]`

  `=>x^2+3x-x+3=3`

`<=>x^2+2x=0`

`<=>x(x+2)=0`

`<=>x=0` hoặc `x=-2`

    (ko t/m)            (t/m)

Vậy `S={-2}`

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

$x^2y^2(x^2+y^2)\leq xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.2xy(x^2+y^2)$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{2xy+x^2+y^2}{2})^2$=\frac{1}{8}(x+y)^4=\frac{1}{8}.16=2$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

`5+76/[x^2-16]=[2x-1]/[x+4]-[3x-1]/[4-x]`         `ĐK: x \ne +-4`

`<=>[5(x^2-16)+76]/[(x-4)(x+4)]=[(2x-1)(x-4)+(3x-1)(x+4)]/[(x+4)(x-4)]`

  `=>5x^2-80+76=2x^2-8x-x+4+3x^2+12x-x-4`

`<=>2x=-4`

`<=>x=-2` (t/m)

Vậy `S={-2}`

bị lỗi rồi, bạn xem lại nghen