Gọi O là giao điểm của AE và BI. 
Do I là trung điểm của AC nên AI = IC. 
Gọi H là hình chiếu của I lên BC. 
Do HI vuông góc với BC nên tam giác BHI và CHI là các tam giác vuông cân tại I.
Trong tam giác BHI, ta có $$BH^2 + IH^2 = BI^2$$.
Trong tam giác CHI, ta có $$CH^2 + IH^2 = CI^2$$.
Cộng ta được $$BH^2 + CH^2 + 2IH^2 = BI^2 + CI^2$$.
Nhưng $$BH + CH = BC$$ và $$BI^2 + CI^2 = BC^2$$ (do tam giác BIC là tam giác vuông tại I), nên ta có $$BC^2 + 2IH^2 = BC^2$$.
Điều này chỉ ra rằng $$IH = 0$$, tức là I trùng với H.
Do I trùng với H, điểm I nằm trên BC. Vì vậy, đường thẳng AE (đường thẳng vuông góc với BC tại E) sẽ vuông góc với BI tại I.
Vậy AE vuông góc với BI. 

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(EI\)
Xét \(\Delta IAF\) và \(\Delta ICE\)
có: \(\widehat{IAF}=\widehat{ICE}=90^o\left(gt\right)\)
      \(IA=IC\left(gt\right)\)
      \(\widehat{AIF}=\widehat{CIE}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta IAF=\Delta ICE\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow IF=IE\) (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác \(AFCE\)
có: \(IA=IC\left(gt\right)\)
      \(IF=IE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(AFCE\) là hình bình hành
\(\Rightarrow AE//FC\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BFC\)
có: \(CI\perp BF\left(gt\right)\)
      \(FI\perp BC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow I\) là trực tâm của \(\Delta BFC\)
\(\Rightarrow BI\perp FC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow AE\perp BI\left(đpcm\right)\)

a: Ta có: \(\widehat{AEB}+\widehat{ABE}=90^0\)(ΔBAE vuông tại A)

\(\widehat{HEB}+\widehat{HBE}=90^0\)(ΔHBE vuông tại H)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

nên \(\widehat{AEB}=\widehat{HEB}\)

b: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

Do đó: ΔBAE=ΔBHE

=>EA=EH

mà EH<EC(ΔEHC vuông tại H)

nên EA<EC

c: Xét ΔEAK vuông tại A và ΔEHC vuông tại H có

EA=EH

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAK=ΔEHC

=>EK=EC

mà EC>HC(ΔEHC vuông tại H)

nên EK>HC

d: Ta có: ΔEAK=ΔEHC

=>AK=HC

Ta có: BA+AK=BK

BH+HC=BC

mà BA=BH và AK=HC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của CK(1)

Ta có: EK=EC

=>E nằm trên đường trung trực của CK(2)

Từ (1) và (2) suy ra BE là đường trung trực của CK

=>BE\(\perp\)CK

Nếu có 16 bạn thì công việc sẽ hoàn thành trong:

4*2:16=0,5(giờ)

16 bạn làm xong trong: 2 x 4: 16 = 0,5 giờ = 30 phút

Lời giải:

Gọi $a$ (m) là độ dài đoạn đường. 

Theo dự định, đoạn được sẽ được chia thành $5+6+7=18$ phần, 3 tổ sẽ được phân công lần lượt $\frac{5a}{18}, \frac{6a}{18}=\frac{a}{3}, \frac{7a}{18}$ (mét đường)

Thực tế, đoạn đường được chia thành $4+5+6=15$ phần, 3 tổ được phân công lần lượt $\frac{4a}{15}, \frac{5a}{15}=\frac{a}{3}, \frac{6}{15}a=\frac{2}{5}a$ (mét đường)

Như vậy, chỉ có tổ 3 là làm nhiều hơn so với dự kiến.

$\Rightarrow \frac{2}{5}a-\frac{7}{18}a=15$

$\Rightarrow \frac{1}{90}a=15$

$\Rightarrow a=1350$ (m)

Số mét đường chia lại cho:

Tổ 1: $1350.\frac{4}{15}=360$ (m) 

Tổ 2: $1350.\frac{1}{3}=450$ (m)

Tổ 3: $1350.\frac{2}{5}=540$ (m)

a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: F ở đâu vậy bạn?

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: Sửa đề: DE cắt AB tại F

Ta có: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

mà DA<DF(ΔDAF vuông tại A)

nên DE<DF

a: Sửa đề: Chứng minh ΔABD=ΔEBD

Câu 14:

a: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+b+e}{b+d+f}\)

b: \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{7}\)

mà x+y=55

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{x+y}{4+7}=\dfrac{55}{11}=5\)

=>\(x=5\cdot4=20;y=5\cdot7=35\)

Câu 15:

a: hệ số tỉ lệ là:

\(k=x\cdot y=4\cdot\left(-8\right)=-32\)

b: xy=-32

=>\(x=-\dfrac{32}{y}\)

Khi y=2 thì \(x=-\dfrac{32}{2}=-16\)

Câu 13:

a: \(7:21=\dfrac{1}{4}:\dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{1}{5}:\dfrac{1}{2}=1:2,5\)

b: \(\dfrac{5}{3}=\dfrac{x}{9}\)

=>\(x=5\cdot\dfrac{9}{3}\)

=>\(x=5\cdot3=15\)

Sửa đề: MA=MK

a: Xét ΔMBK và ΔMCA có

MB=MC

\(\widehat{BMK}=\widehat{CMA}\)(hai góc đối đỉnh)

MK=MA

Do đó: ΔMBK=ΔMCA

=>BK=CA
mà AB=AC

nên BK=BA

=>ΔBAK cân tại B

b: Ta có: ΔMBK=ΔMCA

=>\(\widehat{MBK}=\widehat{MCA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BK//AC