a,Gọi \(ƯCLN(n+1,2n+3)=d\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}2(n+1)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> \((2n+3)-(2n+2)⋮d\)

=> 1 chia hết cho d

\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

Mà \(d\inℕ^∗\)nên d = 1

Vậy phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản \(\forall n\inℕ\)

b, Tương tự như câu a

Để \(A\in Z\)thì :

n + 2 \(⋮\)n - 5

n - 5 + 7 \(⋮\)n - 5

\(7⋮n-5\)

\(\Rightarrow n-5\inƯ\left(7\right)\)

                  * Làm nốt *

                                   #Louis

\(A=\frac{n+2}{n-5}\)

\(=\frac{n-5+7}{n-5}\)

\(=1+\frac{7}{n-5}\)

Để A nguyên thì \(\frac{7}{n-5}\)nguyên

\(\Rightarrow\)\(n-5\inƯ_{\left(7\right)}=\left\{-7,-1,1,7\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(n\in\left\{-2,4,6,12\right\}\)

vậy...

\(A=\frac{3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37-10101}{1212120+40404}\)

\(A=\frac{\left[3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37\right]\cdot5-10101}{120\cdot10101+4\cdot10101}\)

\(A=\frac{10101\cdot5-10101}{10101\cdot\left[120+4\right]}\)

\(A=\frac{10101\cdot\left[5-1\right]}{10101\cdot\left[120+4\right]}\)

\(A=\frac{10101\cdot4}{10101\cdot124}=\frac{4}{124}=\frac{1}{31}\)

                                                Lời giải:

Gọi d là ƯCLN\((2n+1,3n+2)\) \((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3(2n+1)⋮d\\2(3n+2)⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \((6n+4)-(6n+3)⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản

Đường link : Câu hỏi của Hà Lê - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có : a⁴ + b⁴ \(\ge\)2a²b² ; b⁴ + c⁴ \(\ge\)2b²c² ; a⁴ + c⁴ \(\ge\)2a²c²

\(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\)a²b² + b²c² + a²c² ( 1 )

Lại có : a²b² + b²c² \(\ge\)2b²ac ; b²c² + a²c² \(\ge\)2c²ab ; a²b² + a²c² \(\ge\)2a²bc

\(\Rightarrow\)a²b² + b²c² + a²c² \(\ge\)abc ( a + b + c ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\) abc ( a + b + c ) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

Tương tự , b⁴ + c⁴ + d⁴ ​​​\(\ge\)​bcd ( b + c + d ) ; a⁴ + b⁴ + d⁴ ​\(\ge\)​abd ( a + b + d ) ; c⁴ + d⁴ + a⁴ ​\(\ge\)​acd ( a + c + d ) 

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\); \(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

Cộng từng vế theo vế , ta được : 

A \(\le\)1  ( đặt A = biểu thức ấy nhé )

Vậy GTLN A = 1 \(\Leftrightarrow\)a = b = c = d = 1

a, ( 8x + 5 )( 4x + 3 )( 2x + 1 ) = 9

<=> ( 8x + 5 )[ 2( 4x+3)] [ 4 ( 2x+1 )] = 9* 2 * 4

<=> (8x+5)(8x+6)(8x+4) = 72

Đặt 8x+5 = y ta có phương trình tương đương :

y ( y -1 ) ( y+1) = 72

......................

b, Tương tự phần a nhé

c, x^3 + 5x^2 + 5x + 2=0 

<=> x^3 + 1 + 5x^2 + 5x + 1 = 0

<=> (x+1)(x^2 - x +1) + 5x ( x+1 ) + 1 =0

<=> (x+1 ) ( x^2+4x + 1) + 1 = 0