@Vanan Vuong : Tìm m để pt (x-7)(x-6)(x+2)(x+3) = m có 4 nghiệm phân biệt t/m \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)
\(Pt:\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right]\left[\left(x-6\right)\left(x+2\right)\right]=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)(1)
Đặt \(\left(x-2\right)^2=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a=x^2-4x+4\)
Như vậy , vs mỗi giá trị của a , ta tìm được nhiều nhất 2 giá trị của x
\(Pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-26\right)\left(a-16\right)=m\)
\(\Leftrightarrow a^2-42a+416=m\)
\(\Leftrightarrow a^2-42a+416-m=0\)(2)
Để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}441-416+m>0\\42>0\left(Luonđung\right)\\416-m>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-25\\m< 416\end{cases}}\Leftrightarrow-25< m< 416\)
Khi đó theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}a_1+a_2=42\\a_1a_2=416-m\end{cases}}\)
Với giá trị của m vừa tìm đc ở trên thì mỗi giá trị a1 và a2 sẽ nhận 2 giá trị của x
Giả sử a1 nhận 2 nghiệm x1 và x2 còn a2 nhận 2 nghiệm x3 và x4 (đoạn này ko hiểu ib nhá)
*Xét a1 nhận x1 và x2
Khi đó phương trình \(a_1=x^2-4x+4\) sẽ nhận 2 nghiệm x1 và x2
\(pt\Leftrightarrow x^2-4x+4-a_1=0\)(Đoạn này ko cần Delta nữa vì mình đã giả sử có nghiệm rồi)
Theo hệ thức Vi-ét \(\)\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=4-a_1\end{cases}}\)
*Xét a2 nhận x3 và x4
Tương tự trường hợp trên ta cũng đc \(\hept{\begin{cases}x_3+x_4=4\\x_3x_4=4-a_2\end{cases}}\)
Ta có \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{4-a_1}+\frac{4}{4-a_2}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4-a_1}+\frac{1}{4-a_2}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{4-a_2+4-a_1}{\left(4-a_1\right)\left(4-a_2\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{8-\left(a_1+a_2\right)}{16-4\left(a_1+a_2\right)+a_1a_2}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{8-42}{16-4.42+416-m}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{-34}{264-m}=1\)
\(\Leftrightarrow-34=264-m\)
\(\Leftrightarrow m=298\)(Thỏa mãn)
Tính toán có sai sót gì thì tự fix nhá :V
2/a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)>0\Leftrightarrow m^2-4m+4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne2\)
b) Ta có: \(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=26\) (1)
Áp dụng hệ thức Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)
Thay vào (1) ta có:\(\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=26\)
\(\Leftrightarrow-m\left[m^2-3\left(m-1\right)\right]=26\)
\(\Leftrightarrow-m^3+3m^2-3m=26\)
\(\Leftrightarrow-m^3+3m^2-3m-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-m^3-2m^2\right)+\left(5m^2+10m\right)-\left(13m+26\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2\left(m+2\right)+5m\left(m+2\right)-13\left(m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(-m^2+5m-13\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2-5m+13\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-2\\m^2-5m+13=0\left(1\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(m^2-5m+13=\left(m-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\ge\frac{27}{4}>0\forall x\)
Nên (1) vô nghiệm.Do đó m = -2
Đúng không ạ?Em không chắc đâu nha!
À quên có lẽ cái chỗ chứng minh (1) vô nghiệm đó nên giải như sau ạ:
\(m^2-5m+13=0\).Ta có:
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.13=-27< 0\) nên (1) vô nghiệm.
Vậy m = -2