a) Ta có :

\(27^{27}>27^{26}=\left(27^2\right)^{13}=729^{13}>243^{13}\)

\(\Rightarrow27^{27}>243^{13}\)

\(\Rightarrow-27^{27}< -243^{13}\)

\(\Rightarrow\left(-27\right)^{27}< \left(-243\right)^{13}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{8}\right)^{25}>\left(\dfrac{1}{8}\right)^{26}=\left(\dfrac{1}{8^2}\right)^{13}=\left(\dfrac{1}{64}\right)^{13}>\left(\dfrac{1}{128}\right)^{13}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{8}\right)^{25}>\left(\dfrac{1}{128}\right)^{13}\)

\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{8}\right)^{25}< \left(-\dfrac{1}{128}\right)^{13}\)

c) \(4^{50}=\left(4^5\right)^{10}=1024^{10}\)

\(8^{30}=\left(8^3\right)^{10}=512^{10}< 1024^{10}\)

\(\Rightarrow4^{50}>8^{30}\)

d) \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{17}< \left(\dfrac{1}{9}\right)^{12}< \left(\dfrac{1}{27}\right)^{12}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{9}\right)^{17}< \left(\dfrac{1}{27}\right)^{12}\)

a) Ta có :

$27^{27}>27^{26}={\left(27^2\right)}^{13}=729^{13}>243^{13}$

$\Rightarrow 27^{27}>243^{13}$

$\Rightarrow -27^{27}<-243^{13}$

$\Rightarrow {\left(-27\right)}^{27}<{\left(-243\right)}^{13}$

b) ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}\right)}^{25}>{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}\right)}^{26}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8^2}\right)}^{13}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{64}\right)}^{13}>{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{128}\right)}^{13}$

$\Rightarrow {\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}\right)}^{25}>{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{128}\right)}^{13}$

$\Rightarrow {\left(-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}\right)}^{25}<{\left(-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{128}\right)}^{13}$

c) $4^{50}={\left(4^5\right)}^{10}=1024^{10}$

$8^{30}={\left(8^3\right)}^{10}=512^{10}<1024^{10}$

$\Rightarrow 4^{50}>8^{30}$

d) ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{9}\right)}^{17}<{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{9}\right)}^{12}<{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{27}\right)}^{12}$

$\Rightarrow {\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{9}\right)}^{17}<{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{27}\right)}^{12}$

a) \(A=10^{100}+5\)

- Tận cùng A là số 5 \(\Rightarrow A⋮5\)

- Tổng các chữ số của A là \(1+5=6⋮3\Rightarrow A⋮3\) \(\)

\(\Rightarrow dpcm\)

b) \(B=10^{50}+44\)

- Tận cùng B là số 4 là số chẵn \(\Rightarrow B⋮2\)

- Tổng các chữ số của B là \(1+4+4=9⋮9\Rightarrow B⋮9\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Lời giải:

a. Gọi $d$ là ƯCLN $(n+3, 2n+7)$

$\Rightarrow n+3\vdots d$ và $2n+7\vdots d$

$\Rightarrow 2n+7-2(n+3)\vdots d$

Hay $1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

Vậy $n+3, 2n+7$ nguyên tố cùng nhau, nên $\frac{n+3}{2n+7}$ tối giản.

b.

Gọi $d$ là ƯCLN $(4n+6, 6n+7)$

$\Rightarrow 4n+6\vdots d; 6n+7\vdots d$

$\Rightarrow 3(4n+6)-2(6n+7)\vdots d$
$\Rightarrow 4\vdots d$

Mặt khác, vì $6n+7\vdots d$ mà $6n+7$ lẻ nên $d$ lẻ.

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \frac{4n+6}{6n+7}$ tối giản.

Lời giải:
Tỉ số giữa tử và mẫu: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Mẫu số là 35 thì tử số là: $35.\frac{2}{3}=\frac{70}{3}$ (không phải số tự nhiên) - nghe không hợp lý lắm. Bạn xem lại đề.

Lời giải:

Gọi tuổi anh là a và tuổi em là b. Theo bài ra ta có:

$a\times 2+a+b=3\times a+b=52$ (1)

$a-b-b=a-2\times b=1$

Suy ra $3\times a-6\times b=3$ (2)

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ theo vế: $3\times a+b-(3\times a-6\times b)=52-3$

$3\times a+b-3\times a+6\times b=49$

$7\times b=49$

$b=49:7=7$

$a=1+2\times b=1+2\times 7=15$

 Vì \(P\left(x\right)⋮\left(2x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\)

 Xét đa thức \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\). Ta có \(Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(3\right)=Q\left(4\right)=0\) nên \(Q\left(x\right)\) có 4 nghiệm là \(1,2,3,4\). Nếu \(Q\left(x\right)\equiv0\) thì \(P\left(x\right)=x+1\), vô lý. Do đó \(Q\left(x\right)\) là đa thức khác hằng \(\Rightarrow\) bậc của \(Q\left(x\right)\) phải lớn hơn hoặc bằng 4. Mà \(P\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 \(\Rightarrow\) \(Q\left(x\right)\) cũng phải có hệ số cao nhất là 1.

 Mặt khác, \(Q\left(\dfrac{1}{2}\right)=P\left(\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+1\right)=-\dfrac{3}{2}\)

 Đặt \(Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)R\left(x\right)\). Khi đó \(R\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 và \(R\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{8}{35}\).

 Khi đó, ycbt \(\Leftrightarrow\) tìm tất cả các đa thức \(R\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 mà \(R\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{8}{35}\).

 Nếu \(R\left(x\right)=-\dfrac{8}{35}\) thì vô lý.

 Nếu \(R\left(x\right)\) có bậc là 1 thì \(R\left(x\right)=x+a\). Thế \(x=\dfrac{1}{2}\) sẽ tìm được \(a=-\dfrac{51}{70}\) và do đó \(R\left(x\right)=x-\dfrac{51}{70}\) \(\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-\dfrac{51}{70}\right)\). Thế vào \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\) ta tìm được đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa ycbt.

 Nếu \(R\left(x\right)\) có bậc 2 thì \(R\left(x\right)=x^2+ax+b\). Thế \(x=\dfrac{1}{2}\) thì ta có \(\dfrac{1}{2}a+b=-\dfrac{1}{2}\), sẽ có vô số cặp số \(\left(a,b\right)\) thỏa mãn điều này \(\Rightarrow\) tồn tại vô số đa thức \(Q\left(x\right)\) \(\Rightarrow\) tồn tại vô số đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa ycbt.

 Tương tự như thế, ta xét bậc của \(R\left(x\right)\) tăng dần thì sẽ có vô số đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa mãn ycbt. (nhưng sẽ không có công thức chung cho các đa thức)

Vì $P\left(x\right)⋮\left(2x-1\right)$ $\Rightarrow P\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)=0$

 Xét đa thức $Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)$. Ta có $Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(3\right)=Q\left(4\right)=0$ nên $Q\left(x\right)$ có 4 nghiệm là $1,2,3,4$. Nếu $Q\left(x\right)\equiv 0$ thì $P\left(x\right)=x+1$, vô lý. Do đó $Q\left(x\right)$ là đa thức khác hằng $\Rightarrow$ bậc của $Q\left(x\right)$ phải lớn hơn hoặc bằng 4. Mà $P\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 $\Rightarrow$ $Q\left(x\right)$ cũng phải có hệ số cao nhất là 1.

 Mặt khác, $Q\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)=P\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}+1\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

 Đặt $Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)R\left(x\right)$. Khi đó $R\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 và $R\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{35}$.

 Khi đó, ycbt $\iff$ tìm tất cả các đa thức $R\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 mà $R\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{35}$.

 Nếu $R\left(x\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{35}$ thì vô lý.

 Nếu $R\left(x\right)$ có bậc là 1 thì $R\left(x\right)=x+a$. Thế $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$ sẽ tìm được $a=-\genfrac{}{}{0ex}{}{51}{70}$ và do đó $R\left(x\right)=x-\genfrac{}{}{0ex}{}{51}{70}$ $\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-\genfrac{}{}{0ex}{}{51}{70}\right)$. Thế vào $Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)$ ta tìm được đa thức $P\left(x\right)$ thỏa ycbt.

 Nếu $R\left(x\right)$ có bậc 2 thì $R\left(x\right)=x^2+ax+b$. Thế $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$ thì ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}a+b=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$, sẽ có vô số cặp số $\left(a,b\right)$ thỏa mãn điều này $\Rightarrow$ tồn tại vô số đa thức $Q\left(x\right)$ $\Rightarrow$ tồn tại vô số đa thức $P\left(x\right)$ thỏa ycbt.

 Tương tự như thế, ta xét bậc của $R\left(x\right)$ tăng dần thì sẽ có vô số đa thức $P\left(x\right)$ thỏa mãn ycbt. (nhưng sẽ không có công thức chung cho các đa thức)

Ta thấy 

\(f\left(x\right):g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^{100}+x^{99}+x^{98}+x^5+2020\right):\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+2x^{96}+2x^{95}+...2x^4+3x^3+2x^2+3x+2\right)\) có số dư là \(R\left(x\right)=3x+2022\)

\(\Rightarrow R\left(2021\right)=3.2021+2022=8085\)

\(A=\left(2023+1\right)\times2023:2\\ =2047276\)

Là bn cho đáp đi bạn

là sao?