a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)SB tại M

Xét tứ giác SKAM có \(\widehat{SKA}+\widehat{SMA}=90^0+90^0=180^0\)

nên SKAM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại N

=>BN\(\perp\)SN tại N

Xét ΔSMA vuông tại M và ΔSNB vuông tại N có

\(\widehat{MSA}\) chung

Do đó: ΔSMA~ΔSNB

=>\(\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SA}{SB}\)

=>\(SM\cdot SB=SA\cdot SN\)

Lời giải:

a. PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:

$x^2-mx-1=0(*)$
Ta thấy: $\Delta (*)=m^2+4>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ PT $(*)$ có 2 nghiệm pb với mọi $m$

$\Rightarrow (P), (d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb với mọi $m$

b.

$x_1,x_2$ là 2 nghiệm của $(*)$. Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$

$x_1x_2=-1$

Khi đó:

$M=(y_1-1)(y_2-1)+2(x_1+x_2)+3=(mx_1+1-1)(mx_2+1-1)+2(x_1+x_2)+3$

$=m^2x_1x_2+2(x_1+x_2)+3=m^2(-1)+2m+3$

$=-m^2+2m+3=4-(m^2-2m+1)=4-(m-1)^2\leq 4$ do $(m-1)^2\geq 0$ với mọi $m$

Vậy $M_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $m-1=0\Leftrightarrow m=1$

Lời giải:

Giả sử năng suất dự định của tổ là $a$ sản phẩm/ ngày và làm trong $b$ ngày.

Theo bài ra ta có:

$ab=140$

$(a+4)(b-4)=140$

$\Leftrightarrow ab-4a+4b-16=140$

$\Leftrightarrow 140-4a+4b-16=140$

$\Leftrightarrow -a+b=4$

$\Leftrightarrow b=a+4$
Thay vào điều kiện $ab=140$ thì:

$a(a+4)=140$

$\Leftrightarrow a^2+4a-140=0$

$\Leftrightarrow (a-10)(a+14)=0$

$\Leftrightarrow a=10$ hoặc $a=-14$. Do $a>0$ nên $a=10$

Thực tế mỗi ngày tổ làm được: $a+4=10+4=14$ (sản phẩm)

Lời giải:

Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày sản xuất $a$ sản phẩm và sản xuất trong $b$ ngày.

Theo bài ra ta có:

$ab=1100$

$(a+5)(b-2)=1100$

$\Leftrightarrow ab-2a+5b-10=1100$

$\Leftrightarrow 1100-2a+5b-10=1100$

$\Leftrightarrow 5b=2a+10$

Thay vào điều kiện $ab=1100$ thì:

$a.5b=5500$

$\Leftrightarrow a.(2a+10)=5500$

$\Leftrightarrow a(a+5)=2750$

$\Leftrightarrow a^2+5a-2750=0$

$\Leftrightarrow (a-50)(a+55)=0$

Do $a>0$ nên $a=50$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất 50 sản phẩm.

Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm theo dự định mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất (x > 0)

Số ngày sản xuất theo dự định: 1100/x (ngày)

Số sản phẩm thực tế mỗi ngày sản xuất được: x + 5 (sản phẩm)

Số ngày sản xuất thực tế: 1100/(x + 5) (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình:

1100/x - 1100/(x + 5) = 2

⇔ 1100(x + 5) - 1100x = 2x(x + 5)

⇔ 1100x + 5500 - 1100x = 2x² + 10x

⇔ 2x² + 10x - 5500 = 0

⇔ x² + 5x - 2750 = 0

⇔ x² - 50x + 55x - 2750 = 0

⇔ (x² - 50x) + (55x - 2750) = 0

⇔ x(x - 50) + 55(x - 50) = 0

⇔ (x - 50)(x + 55) = 0

⇔ x - 50 = 0 hoặc x + 55 = 0

*) x - 50 = 0

⇔ x = 50 (nhận)

*) x + 55 = 0

⇔ x = -55 (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là 50 sản phẩm

Lời giải:
Diện tích dùng để khâu quả bóng:

$4\times 3,14\times 3^2=113,04$ (cm²)

Gọi năng suất dự định là x(xϵN*;x<60)(bộ/ngày)

Năng suất thực tế là x+2(bộ/ ngày)

Thời gian dự định là 60/x(ngày)

Thời gian thực tế là 60/x -1(ngày)

Theo bài ra ta có phương trình:

(60/x-1).(x-2)=60

⇔x=10(t/m)

Số ngày dự định tổ đó hoàn thành công việc là 60/x=60/10=6(ngày)

Vậy...

Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng giêng là x(chi tiết)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng là:

900-x(chi tiết)

Số chi tiết máy tổ 1 làm được trong tháng II là:

\(x\left(1+15\%\right)=1,15x\)(chi tiết)

Số chi tiết máy tổ 2 làm được trong tháng II là:

\(\left(900-x\right)\cdot\left(1+10\%\right)=1,1\left(900-x\right)\)(chi tiết)

Tổng số chi tiết máy 2 tổ làm được trong tháng II là 1010 chi tiết nên 1,15x+1,1(900-x)=1010

=>0,05x+990=1010

=>0,05x=20

=>x=20:0,05=400(nhận)

Vậy: số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng giêng là 400(chi tiết)

số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng là

900-400=500(chi tiết)

1: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)CD

Xét tứ giác OIAM có \(\widehat{OIM}=\widehat{OAM}=90^0\)

nên OIAM là tứ giác nội tiếp

=>O,I,A,M cùng thuộc một đường tròn

2: ΔOAM vuông tại A

=>\(AO^2+AM^2=MO^2\)

=>\(AM^2=\left(\dfrac{3R}{2}\right)^2-R^2=\dfrac{5}{4}R^2\)

Xét (O) có

\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)

=>\(MC\cdot MD=MA^2=\dfrac{5}{4}R^2\)

a: H là trung điểm của OD

=>\(OH=\dfrac{OD}{2}=\dfrac{R}{2}\)

\(OH\cdot OA=\dfrac{R}{2}\cdot2R=R^2\)

Xét ΔOHM và ΔOMA có

\(\dfrac{OH}{OM}=\dfrac{OM}{OA}\)

\(\widehat{HOM}\) chung

Do đó: ΔOHM~ΔOMA

=>\(\widehat{OHM}=\widehat{OMA}\)

=>\(\widehat{OMA}=90^0\)

=>AM là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

\(\widehat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB

\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó; \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\)

Xét ΔAMB và ΔACM có

\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MAB}\) chung

Do đó: ΔAMB~ΔACM

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\)

=>\(AM^2=AB\cdot AC\left(1\right)\)

Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM^2=AB\cdot AC=AH\cdot AO\)