Vì Bác Bình làm lâu hơn Bác An nên sản phẩm Bác Bình làm được nhiều hơn Bác An.

Tỉ số giữa số sản phẩm bác Bình và bác An làm được là:

\(7:5=\dfrac{7}{5}\)

Từ bài toán, ta có sơ đồ:

Bác Bình: |----|----|----|----|----|----|----|    |
                                                    |  108 sản phẩm
  Bác An: |----|----|----|----|----|               |

Tổng số phần bằng nhau là:

\(7+5=12\left(\text{phần}\right)\)

Giá trị mỗi phần là:

\(108:12=9\left(\text{sản phẩm}\right)\)

Bác Bình làm được số sản phẩm là:

\(9\cdot7=63\left(\text{sản phẩm}\right)\)

Bác An làm được số sản phẩm là:

\(108-63=45\left(\text{sản phẩm}\right)\)

Đáp số: Bác Bình: \(63\text{sản phẩm}\)

        Bác An: \(45\text{sản phẩm}\)

Bác An    ____ ____ ____ ____ ____ 

                               ? sản phẩm                                     

Bác Bình ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

                                  ? sản phẩm  

Tổng số phần bằng nhau là

7 + 5 = 12 ( phần )

Bác An làm được số sản phẩm là

\(108\div12\times5=45\)( sản phẩm )

Bác Bình làm được số sản phẩm là

108 - 45 = 63 ( sản phẩm )

Đáp số Bác An : 45 sản phẩm

            Bác Bình : 63 sản phẩm

 Trước tiên ta có một bổ đề sau:

 Bổ đề: Cho 2 số \(a,b\) sao cho cả \(a,b\) đều viết được dưới dạng tổng của 4 số chính phương. Khi đó tích \(p=ab\) cũng có thể biểu diễn được thành tổng của 4 số chính phương.

 \(\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right)\)

 \(=\left(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4\right)^2+\left(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3\right)^2\) \(+\left(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2\right)^2+\left(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1\right)^2\)

 Chứng minh thì bạn khai triển ra thôi.

 Ta thấy \(0=0^2+0^2+0^2+0^2\)

 \(1=0^2+0^2+0^2+1^2\)

 \(2=0^2+0^2+1^2+1^2\)

 Từ bổ đề trên, ta thấy chỉ cần chứng minh khẳng định đúng với số nguyên tố lẻ \(p\) thì coi như bài toán hoàn tất.

 (Vì mọi số tự nhiên đều có thể viết được dưới dạng \(2^n.t\) với \(t\) lẻ)

 Ta có số dư của \(a^2\) khi chia cho \(p\) luôn phân biệt khi cho \(a\) chạy từ \(0\) đến \(\dfrac{p-1}{2}\). Thật vậy, chọn \(a\) bất kì và đặt \(c=a^2modp\) \(\Rightarrow a\) là nghiệm của đa thức \(x^2-c\) trên trường \(Z/pZ\). Tương tự với \(p-a\left(\ne a\right)\). Ta biết rằng trong một trường \(K\), bất kì đa thức bậc \(n\) nào cũng chỉ có tối đa \(n\) nghiệm. Vì vậy không còn \(a\) nào khác là nghiệm của \(x^2-c\) nữa. Điều này có nghĩa là với mỗi số \(i\) trong tập hợp \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì tồn tại duy nhất \(a\) để \(a^2\equiv i\left[p\right]\)

 Tương tự, khi \(b\) chạy từ tập \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì \(-b^2-1\) phân biệt. Áp dụng nguyên lí Dirichlet, tồn tại \(a,b\) sao cho \(a^2\equiv-b^2-1\left[p\right]\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+1^2+0^2=np\) với \(n\inℕ\)

 Gọi \(m\) là số tự nhiên nhỏ nhất để \(mp\) là tổng của 4 số chính phương, \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\). Ta chứng minh bằng phản chứng rằng \(m=1\) . Giả sử \(m\ne1\). Ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn bằng việc chứng minh tồn tại một số tự nhiên \(r< m\) mà \(rp\) là tổng của 4 số chính phương.

 Với mỗi \(x_i\) và \(y_i\) có cùng số dư khi chia cho \(m\) và nằm giữa \(\dfrac{-m+1}{2}\) và \(\dfrac{m}{2}\), ta có \(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr\), với \(0< r< m\)

 Áp dụng bổ đề, ta có \(mpmr=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2\). Vì \(x_i\equiv y_i\left[m\right]\) nên \(z_i⋮m\). Thật vậy:

 \(z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\) \(\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\) \(\equiv mp\equiv0\left[m\right]\)

\(z_2=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3\equiv x_1x_2-x_2x_1+x_3x_4-x_4x_3\equiv0\left[m\right]\)

 Bằng cách tương tự chứng minh được \(z_3,z_4⋮m\)

 Vậy với \(w_i=\dfrac{z_i}{m}\) thì \(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=rp\), điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của \(m\).

 (Ta loại TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=\dfrac{m}{2}\), khi đó \(r=m\); và TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=0\), khi đó \(r=0\) vì cả 2 TH này đều cho ra \(mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2⋮m^2\), vô lí vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(m\))

 Do vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.

                              Giải:

                    14 m ứng với phân số là:

                     1 - \(\dfrac{1}{3}\) = \(\dfrac{2}{3}\) (số vải còn lại sau ngày bán thứ hai)

                   Số vải còn lại sau ngày bán thứ ba là:

                       14 : \(\dfrac{2}{3}\) = 21 (m)

                    Nếu không bán thêm 9m trong ngày thứ ba thì số vải còn lại sau ngày thứ ba là:

                      21 + 9  = 30 (m)

                   30 m ứng với phân số là:

                      1 - \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (Số mét vải còn lại sau ngày thứ hai)

                       Số mét vải còn lại sau ngày thứ hai là:

                         30: \(\dfrac{3}{4}\) = 40 (m)

     Nếu không bán thêm 10 m vải trong lần thứ hai thì còn lại:

                     40 + 10 = 50 (m)

      50 m ứng với phân số là:

                 1 - \(\dfrac{1}{5}\) = \(\dfrac{4}{5}\) (số vải còn lại sau lần bán thứ nhất)

        Số vải còn lại sau lần bán thứ nhất là:

                 50 : \(\dfrac{4}{5}\) = 62,5 (m)

    Nếu lần thứ nhất không bán thêm 5m thì số vải còn lại là:

              62,5 + 5  =  67,5 (m)

   67,5 m ứng với phân số là:

          1  -  \(\dfrac{1}{6}\)   = \(\dfrac{5}{6}\) tấm vải

    Tấm vải dài:  67,5 : \(\dfrac{5}{6}\) = 81 (m)

   ĐS:.. 

   Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi. Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em làm chi tiết dạng này bằng phương pháp giải ngược như sau.

                               Giải:

                    14 m ứng với phân số là:

                     1 - \(\dfrac{1}{3}\) = \(\dfrac{2}{3}\) (số vải còn lại sau ngày bán thứ hai)

                   Số vải còn lại sau ngày bán thứ ba là:

                       14 : \(\dfrac{2}{3}\) = 21 (m)

                    Nếu không bán thêm 9m trong ngày thứ ba thì số vải còn lại sau ngày thứ ba là:

                      21 + 9  = 30 (m)

                   30 m ứng với phân số là:

                      1 - \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (Số mét vải còn lại sau ngày thứ hai)

                       Số mét vải còn lại sau ngày thứ hai là:

                         30: \(\dfrac{3}{4}\) = 40 (m)

     Nếu không bán thêm 10 m vải trong lần thứ hai thì còn lại:

                     40 + 10 = 50 (m)

      50 m ứng với phân số là:

                 1 - \(\dfrac{1}{5}\) = \(\dfrac{4}{5}\) (số vải còn lại sau lần bán thứ nhất)

        Số vải còn lại sau lần bán thứ nhất là:

                 50 : \(\dfrac{4}{5}\) = 62,5 (m)

    Nếu lần thứ nhất không bán thêm 5m thì số vải còn lại là:

              62,5 + 5  =  67,5 (m)

   67,5 m ứng với phân số là:

          1  -  \(\dfrac{1}{6}\)   = \(\dfrac{5}{6}\) tấm vải

    Tấm vải dài:  67,5 : \(\dfrac{5}{6}\) = 81 (m)

   ĐS:.. 

Vì dịch dấu phẩy sang phải một hàng ta được số thứ hai nên số thứ hai bằng  \(\dfrac{10}{1}\) Số thứ nhất.

Vì dịch dấu phẩy sang trái một hàng ta được số thứ ba nên số thứ ba bằng: \(\dfrac{1}{10}\) số thứ nhất

256,077 ứng với phân số là:

 1 + \(\dfrac{10}{1}\) + \(\dfrac{1}{10}\) = \(\dfrac{111}{10}\) (số thứ nhất)

Số thứ nhất là:

256,077 : \(\dfrac{111}{10}\) = 23,07

Số thầy Trường nghĩ ra là: 23,07

Đs:..

15199 =  15199

15150 = 2.3.5².101

ƯCLN(15199; 15150) = 1