Lời giải:
a. 

$xy+x\sqrt{y}-\sqrt{y}-1=x\sqrt{y}(\sqrt{y}+1)-(\sqrt{y}+1)=(\sqrt{y}+1)(x\sqrt{y}-1)$
b.

$ab-a\sqrt{b}+b-\sqrt{b}=(ab+b)-(a\sqrt{b}+\sqrt{b})$

$=b(a+1)-\sqrt{b}(a+1)=(a+1)(b-\sqrt{b})=\sqrt{b}(\sqrt{b}-1)(a+1)$

x=y+2

x2 = y2+4y +4

nhét vào bất đẳng thức ...

đúng là nó "đúng"

ra (2y+1)2 lớn hơn bằng 0 đúng không ạ?

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{4}{\sin42^o}\)

\(AC^2=CH.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=4.\sin42^o\)

Xét tg vuông AHC có

\(x=AH=\sqrt{AC^2-CH^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow x=\sqrt{16-16\sin^242^o}=4\sqrt{1-\sin^242}=4\sqrt{\cos^242^o}=4\cos42^o\)

Hai đường thẳng cắt nhau khi

\(2x=-x+3\Leftrightarrow3x=3\Leftrightarrow x=1\) thay vào

\(y=2x\Rightarrow y=2\)

Giao của 2 đường thẳng tại điểm có toạ độ (1;2)

Ta có \(x^2+x\sqrt{3}+1=\left(x^2+2x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

Vì \(\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow x^2+x\sqrt{3}+1\ge\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là \(\dfrac{1}{4}\) khi \(x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=-10\sqrt{2}+10-\left(8+25-20\sqrt{2}\right)=\)

\(=10\sqrt{2}-23\)

a/

Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (đpcm)

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

b/

Ta có

B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => A; O; B; C cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Ta có sđ cung IB = sđ cung IC ( Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì chia đôi cung chắn bởi hai tiếp điểm)

Xét tg vuông IBK và tg vuông IBH có

\(sđ\widehat{IBK}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{IBH}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IC (góc nội tiếp đường tròn)

Mà sđ cung IB = sđ cung IC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{IBK}=\widehat{IBH}\)

cạnh huyền IB chung

\(\Rightarrow\Delta IBK=\Delta IBH\) (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) 

\(\Rightarrow IK=IH\) (đpcm)

d/ Mình nghĩ mãi chỉ có 1 cách nhưng hơi dài mình nói cách làm thôi nhé

Vận dụng các hệ thức lượng trong tg vuông và t/c của hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm Sẽ tính được AB=AC;BC; AH từ đó tính được diện tích tg ABC 

Vận dụng công thức \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\widehat{KAE}\) từ đó tính được \(\sin\widehat{KAE}\)

Tương tự ta cũng tính được \(\sin\widehat{AKE}\)

Vận dụng định lý hàm sin

\(\dfrac{KE}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AE}{\sin\widehat{AKE}}\Rightarrow\dfrac{KM+EM}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AC+EC}{\sin\widehat{AKE}}\)

Mà KM=KB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

tg IBK = tg IBH (cmt) => KB=BH

=> KB=KM=BH Mà BH tính được AC tính được; EM=EC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

Giải PT để tìm EC Từ đó tính được AK; KE; AE

\(\Rightarrow S_{AKE}=\dfrac{1}{2}\left(AK+KE+AE\right).R\)

Bạn tự làm nhé

a ) Ta có : AB , AC là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow ABOC$ nội tiếp

b ) Vì AB là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ADB}\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AE.AD$

c ) Ta có :

Xin lỗi bạn nhưng máy mình bị lỗi không vẽ hình được.

c) Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (câu a) \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BCE}\) hay \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BCQ}\) (1)

Xét (O) có \(\widehat{BCQ}\) và \(\widehat{BPQ}\) là các góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BQ}\) \(\Rightarrow\widehat{BCQ}=\widehat{BPQ}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BPQ}\left(=\widehat{BCQ}\right)\)

\(\Rightarrow DE//PQ\) (2 góc đồng vị bằng nhau)

d) Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) (ở đây mình lấy về phía B chứ còn bạn lấy tia tiếp tuyến này vế phía B hay phía C tùy) 

Dễ thấy \(\widehat{BAx}\) và \(\widehat{ACB}\) lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\) \(\Rightarrow\widehat{BAx}=\widehat{ACB}\)

Tứ giác BEDC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\) (góc ngoài = góc trong đối)

\(\Rightarrow\widehat{BAx}=\widehat{AED}\left(=\widehat{ACB}\right)\) \(\Rightarrow Ax//DE\) ( 2 góc so le trong bằng nhau)

Vì \(DE//PQ\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow Ax//PQ\)\(\left(//DE\right)\)

Mà \(Ax\perp OA\) tại A (do Ax là tiếp tuyến tại A của (O)) \(\Rightarrow OA\perp PQ\) (3)

Xét (O) có OA là 1 phần đường kính và \(OA\perp PQ\left(cmt\right)\) 

\(\Rightarrow\) OA đi qua trung điểm của PQ  (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) OA là trung trực của đoạn PQ

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).