`a)`\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}\)

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

`b)` Để `P` nguyên thì \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\in Z\) \(\Rightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

`@`\(\sqrt{x}+1=1\rightarrow x=0\)

`@`\(\sqrt{x}+1=-1\) `->` vô lý

Vậy `x=0` thì `P` nguyên

`c)`\(P=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow P\le1+\dfrac{1}{1}=2\)

Vậy \(Max_P=2\) khi `x=0`

\(N=\left[\left(a-3b\right)-\left(a+3b\right)\right]\left[\left(a-3b\right)+\left(a+3b\right)\right]-\left(a-1\right)\left(b-2\right)=\)

\(=\left(-6b\right).2a-\left(ab-2a-b+2\right)=\)

\(=2a+b-13ab-2=\) thay a;b vào để tính N

Xét tg vuông ADM và tg vuông DCN có

AM=DN (gt)

AD=CD (cạnh hình vuông)

=> tg ADM = tg DCN (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCN}\)

b/

Ta có

BM=AB-AM

AN=AD-DN

AB=CD (cạnh hình vuông)

AM=DN (gt)

=> AN=BM (1)

AC=BD (đường chéo hình vuông) (2)

\(\widehat{CAN}=\widehat{BDM}=45^o\) (trong hình vuông đường chéo là đường phân giác của hai góc đối nhau) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg ACN = tg BDM (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{ACN}=\widehat{BDM}\) => CDIO là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{OIC}=\widehat{BDC}=45^o\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OC) (4)

Ta có

\(\widehat{ADM}=\widehat{DCN}\) (cmt)

Xét tg vuông CDN có

\(\widehat{DCN}+\widehat{DNC}=90^o\Rightarrow\widehat{ADM}+\widehat{DNC}=90^o\Rightarrow\widehat{DIN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MIC}=90^o\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\widehat{OIM}=45^o\) (6)

Từ (4) và (6) \(\Rightarrow\widehat{OIC}=\widehat{OIM}=45^o\) => OI là phân giác của \(\widehat{MIC}\))

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}\)

=>\(BC=15\)

Áp dụng hệ thức (2) về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(AC.AB=AH.BC\) 

=>\(AH=\dfrac{9.12}{15}=7,2\)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

=>4BD-3DC=0 (*)

Mặt khác: BD+DC=BC=15 (**)

Giải hệ phương trình (*) và (**) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}BD=...\\DC=...\end{matrix}\right.\)

a) Tứ giác MHNA có : $∠MHN = ∠HNA = ∠MAN = ∠AMH = 90^o$

Do đó, MHNA là hình chữ nhật

Suy ra : MN = AH

b)

Tam giác AHB vuông tại H, đường cao HM có : $AH^2 = AM.AB$

Tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN có : $AH^2 = AN.AC$

Suy ra : $AM.AB = AN.AC$

\(\sqrt{1-2x}-5=0\\ < =>\sqrt{1-2x}=5\left(ĐK:x\le\dfrac{1}{2}\right)\\ < =>1-2x=5^2\\ < =>2x=-24\\ < =>x=-12\left(TMDK\right)\)

\(\sqrt{x^2+4}=5\left(ĐK:x\in R\right)\\ < =>x^2+4=5^2\\ < =>x^2=21\\ < =>x=\pm\sqrt{21}\left(TMDK\right)\)

mũ cả hai bên

1- 2x = 25

x = - 12

thử lại , đe, -12 vào x , ta có mênh đê đúng . vậy x = - 12

....

x ² khả năng sẽ có 2 giá trị  x

mũ 2 hai vế : x² + 4 = 25, x= \(\sqrt{ }\)21 hay x = -\(\sqrt{ }\) 21.
thử lại , đúng hét 
 

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-7}\left(ĐK:x>=\dfrac{7}{3}\right)\\ < =>x-1=3x-7\\ < =>3x-x=7-1\\ < =>2x=6\\ < =>x=3\left(TMDK\right)\)

mũ cả hai bên

2x = 6

x=3

thử lại  đem 3 vào x , có mệnh đề đúng /đúng