AB.AC = BC.AH ( hệ thức trong tam giác vuông )
<=> AB²AC² = BC²AH²
<=> AH² = AB²AC² / BC²
<=> AH² = AB²AC² / AB²+AC² ( Tính chất Pytago )
<=> 1/AH² = AB²+AC² / AB²AC²
<=> 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

=> đpcm

\(ĐKXĐ:x\ge1\)

\(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)^2=2^2\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+x+1=4\)

\(\Leftrightarrow2x-2\sqrt{x^2-1}=4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-1}=2x-4\)

\(\Leftrightarrow4.\left(x^2-1\right)=\left(2x-4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4=4x^2-16x+16\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x^2+16x=16+4\)

\(\Leftrightarrow16x=20\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)(t/m ĐKXĐ)

<=> x - 1 - x - 1 + 2.\(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\) = 4

<=> 2.\(\sqrt{x^2-1}\)= 6

<=> \(\sqrt{x^2-1}=3\)

<=> \(\sqrt{x^2-1}=\sqrt{9}\)

<=> x² - 1 = 9

<=> x² = 10

<=> x = \(\pm\sqrt{10}\)

a, Năng lượng giao động:

Ta có : \(E=\frac{1}{2}kA^2=500mJ\)

b,Vận tốc:

Vận tốc lớn nhất của vật đc tính như sau :

\((E_đ)_{max}=E=\frac{1}{2}mv^2_{max}\Rightarrow v_{max}=\sqrt{\frac{2E}{m}}=1,00m.s^{-1}\)

Khi vận tốc lớn nhất, thế năng nhỏ nhất . Ta có :

              \(E_t=0\Leftrightarrow x=0\): vị trí cân bằng

c, Vị trí vật tại đó : E_d = E_t

Ta có :         2E_t = E           => \(kx^2=\frac{1}{2}kA^2\)

\(\Rightarrow\)                 \(x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}=\pm0,5.\sqrt{2}\approx\pm7,0\left(cm\right)\)

\(a,\)\(A=\left(\frac{x-2\sqrt{3x}+3}{x-3}\right)\left(\sqrt{4x}+\sqrt{12}\right).\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}\right)\)\(.\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{3}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^22\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\)

\(b,x=4-2\sqrt{3}\)\(=3-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)

\(\Rightarrow A=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)=2\left(\sqrt{3}-1-\sqrt{3}\right)=2.\left(-1\right)=-2\)

1)Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)

2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)

\("="\Leftrightarrow a=2\)

3) Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c

các bạn cứ coi như đã khoàn thành xong phần rút gọn biểu thức để làm nhé !