Giúp mình với mọi người, mình biết cách chứng minh rồi nhưng chưa hiểu lắm, mọi người làm lúc nào cũng được.
Chứng minh rằng: \(\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n,\forall a,b,c>0;n\in N\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
@Juventus: Số 2 ở đâu ra đấy bạn êi, nếu đúng thì c/m hộ mình cá.
Từ đề bài ta dễ dàng có được \(4x-1>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{4}\)
\(\left(4x-1\right)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=2x^2+2x+1-4x+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x-\left(4x-1\right)\cdot\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[2x-2-\frac{x\left(4x-1\right)}{\sqrt{x^2+1}+1}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[\frac{\left(2x-2\right)\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)-x\left(4x-1\right)}{\sqrt{x^2+1}+1}\right]=0\)
Dễ thấy phương trình sau vô nghiệm nên x=0
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right).1=\left(m-2\right)^2\)
\(\Rightarrow\)Pt có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\ne2\)
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\),\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(m-1\right)^2+1\) thay vào B:
\(B=\frac{2\left(m-1\right)+3}{\left(m-1\right)^2+1+2\left[\left(m-1\right)+1\right]}\)
\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)
Mình chỉ biết làm đến đấy thôi, xl bạn T_T.
Giờ mình ra GTNN rồi
\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)
\(B=\frac{\frac{1}{2}\left(m^2+4m+4\right)-\frac{1}{2}\left(m^2+2\right)}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{2\left(m^2+2\right)}-\frac{1}{2}\ge\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow B_{min}=\frac{-1}{2}\)tại \(m=-2\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=a+a=2a\)
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=a+a=2a\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}=a+\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)a}{2}\)
Em không biết gì về đoạn thẳng có dấu mà chỉ biết tỉ số có dấu, sai thì mong anh thông cảm.
Bài này cơ bản rồi
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=a\\x_1x_2=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=a^2-2\)
Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)
Đến đây bạn thay \(x_1,x_2\)vào phương trình và giải tiếp qua một vài bước biến đổi.
Mình dùng ipad nên bấm lâu lắm, thông cảm chứ dạng này làm nhiều rồi :((
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{a^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}a\\b^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{b^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}b\\c^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{c^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}c\end{cases}}\)
_________________________________________________________________________________________
\(\Rightarrow\left(a^n+b^n+c^n\right)\ge n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}\left(a+b+c\right)-3\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)\(=3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)