Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
a, Chứng minh: CH vuông góc với AB
b, AD cắt (O) tại I. Chứng minh: tam giác CHI cân
c, BE cắt (O) tại K. Chứng minh: H đối xứng với K qua AC.
d,Chứng minh: OC vuông góc với IK.
e, Chứng minh: ED song song KI và OC vuông góc ED
a/
Xét \(\Delta ABC\)
AD và BE cắt nhau tại H (gt)
\(\Rightarrow CH\perp AB\) (trong tam giác 3 đường cao đồng quy)
b/ Gọ F là giao của CH với AB ta có
F và D cùng nhìn BH dưới 1 góc \(90^o\) => F và H nằm trên đường tròn đường kính BH => Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp)
Ta có
\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungFHD\) (góc nt đường tròn)
\(sđ\widehat{FHD}=\dfrac{1}{2}sđcungFBD\) (góc nt đường tròn)
\(\Rightarrow sđ\widehat{ABC}+sđ\widehat{FHD}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungFHD+sđcungFBD\right)\)
Mà \(sđcungFHD+sđcungFBD=360^o\)
\(\Rightarrow sđ\widehat{ABC}+sđ\widehat{FHD}=\dfrac{1}{2}.360^o=180^o\)
Mà \(\widehat{CHI}+\widehat{FHD}=\widehat{FHC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CHI}=\widehat{ABC}\) (cùng bù với \(\widehat{FHD}\) ) (1)
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}=\widehat{AIC}\) (góc nt đường tròn cùng chắn cung AC) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{CHI}=\widehat{AIC}\) => tg CHI cân tại C
c/
Chứng minh tương tự ta cũng có CHK là tg cân tại C
Ta có
\(BE\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow AC\perp HK\)
\(\Rightarrow EH=EK\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)
=> H đối xứng K qua AC
d/ Gọi G là giao của CO với (O)
Ta có tg CHK cân tại C (cmt)
=> CK=CH
Mà tg CHI cân tại C (cmt) => CH=CI
=> CK=CI => tg CKI cân tại C (3)
Ta có
\(sđ\widehat{CKI}=\dfrac{1}{2}sđcungCI\) (góc nt (O))
\(sđ\widehat{CIK}=\dfrac{1}{2}sđcungCK\) (góc nt (O))
\(\Rightarrow sđcungCI=sđcungCK\)
Ta có
sđ cung CIG = sđ cung CKG \(=180^o\)
=> sđ cung CIG - sđ cung CI = sđ cung CKG - sđ cung CK
=> sđ cung GBI = sđ cung GAK
Ta có
\(sđ\widehat{ICG}=\dfrac{1}{2}sđcungGBI\) (góc nt (O))
\(sđ\widehat{KCG}=\dfrac{1}{2}sđcungGAK\) (góc nt (O))
\(\Rightarrow\widehat{ICG}=\widehat{KCG}\) => CG là phân giác của \(\widehat{KCI}\) (4)
Từ (3) và (4) => \(OC\perp KI\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
e/
Ta có E và D cùng nhìn CH dưới 1 góc \(90^o\) => CDHE là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{HDE}=\widehat{ECF}\) (góc nt cùng chắn cung HE) (5)
Ta có F và E cùng nhìn BC dưới 1 góc \(90^o\) => BCEF là tứ giác nt
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{ECF}\) (góc nt cùng chắn cung EF) (6)
Xét (O) có
\(\widehat{ABK}=\widehat{AIK}\) (góc nt cùng chắn cung AK) (7)
Từ (5) (6) (7) \(\Rightarrow\widehat{HDE}=\widehat{AIK}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên
=> ED//KI
Mà \(OC\perp KI\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow OC\perp ED\)