\(13^{14}< 13^{15}\)

\(5^{54}=\left(5^2\right)^{27}=25^{27},3^{81}=\left(3^3\right)^{27}=27^{27}\)

Có \(25^{27}< 27^{27}\) do đó \(5^{54}< 3^{81}\).

\(27^7=\left(3^3\right)^7=3^{21},81^5=\left(3^4\right)^5=3^{20}\)

Có \(3^{21}>3^{20}\) do đó \(27^7>81^5\).

\(2^{105}=\left(2^7\right)^{15}=128^{15},5^{45}=\left(5^3\right)^{15}=125^{15}\)

Có \(128^{15}>125^{15}\) do đó \(2^{105}>5^{45}\).

13¹⁴ < 13¹⁵

5⁵⁴ = (5²)²⁷ = 25²⁷  > 27²⁷ = (3³)²⁷ = 3⁸¹

27⁷ = ( 3³)⁷ = 3²¹ > 3²⁰ = (3⁴)⁵ = 81⁵

2¹⁰⁵ = (2⁷)¹⁵  =  128¹⁵ > 125¹⁵ = (5³)¹⁵ = 5⁴⁵

   (2x + 3 ) : x 

⇔ 3 ⋮ x

⇔ x ϵ {1; 3}

Phương pháp phản chứng :

giả sử tồn tại hai số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn đề bài thì tích của hai số tự nhiên liên tiếp đó có tận cùng bằng 1

Vì hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị.

xét hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên liên tiếp ta có các trường hợp sau:

                         \(\overline{...0}\) . \(\overline{....1}\) = \(\overline{...0}\)

                       \(\overline{....1}\) . \(\overline{....2}\) = \(\overline{...2}\)

                       \(\overline{...2}\) . \(\overline{....3}\)= \(\overline{....6}\)

                       \(\overline{...3}\) . \(\overline{....4}\) = \(\overline{...2}\)

                       \(\overline{...4}\) . \(\overline{...5}\)= \(\overline{...0}\)

                      \(\overline{...5}\). \(\overline{....6}\) = \(\overline{..0}\)

                      \(\overline{...6}\). \(\overline{....7}\) = \(\overline{...2}\)

                      \(\overline{...7}\) . \(\overline{....8}\) = \(\overline{....6}\)

                     \(\overline{....8}\) . \(\overline{...9}\) = \(\overline{...2}\)

                    \(\overline{...9}\). \(\overline{...0}\)= \(\overline{...0}\)

từ lập luận trên cho thấy không có hai chữ số tự nhiên nào mà tích của chúng tận cùng bằng 1. (trái với giả sử)

vậy điều giả sử là sai. chứng tỏ không tồn tại hai số tự nhiên liên  tiếp nào mà tích của chúng bằng 501501

Không có tích 2 số tự nhiên liên tiếp nào bằng 501501 cả bạn ạ. Bạn xem lại.

    n - 5 ϵ Ư(2n + 1) ⇔ 2n + 1 ⋮ n - 5

⇔ 2.(n - 5) + 11 ⋮ n - 5

⇔ 11 ⋮ n - 5 

⇔ n - 5 ϵ Ư(11) = { -11; -1; 1;11}

⇔ n ϵ { - 6; 4; 6; 16}

vì n ϵ N ⇔ n ϵ { 4; 6; 16}

n² + 3 ϵ B(n-1) ⇔ n² + 3 ⋮ n - 1 ⇔ n² - 1 + 4 ⋮ n - 1

⇔ (n-1)(n+1) + 4 ⋮ n - 1

⇔ 4 ⋮ n - 1 

⇔ n - 1  ϵ Ư(4) = { -4; -1; 1; 4}

    n ϵ { -3; 0; 2; 5}

vì n ϵ N ⇔ n ϵ { 0;2;5}

`n+5\vdots (n-2)`   `(ĐK:n\in N;n\ne 2)`

`=>(n-2)+7\vdots (n-2)`

`=>7\vdots (n-2)`

\(=>n-2\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

\(=>n\in\left\{3;1;9;-5\right\}\)

Mà : `x\in N;x\ne 2`

Vậy \(n\in\left\{3;1;9\right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu đề bài

      n + 5 ⋮ n - 2 

⇔ n - 2 + 7 ⋮ n - 2

⇔   7 ⋮ n- 2  

⇔  n - 2 ϵ Ư(7) ={ -7; -1; 1; 7}

     n ϵ {-5; 1; 3; 9}

`(x+1)+(x+3)+...+(x+99)=300`

`=>(x+x+...+x)+(1+3+...+99)=300`

`=>50x+(1+99).50:2=300`

`=>50x+2500=300`

`=>50x=-2200`

`=>x=-44`

   x²⁰ = x¹⁵

⇔x²⁰ - x¹⁵ = 0

⇔ x¹⁵.( x⁵ - 1) = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x^{15}=0\\x^5-1\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

b, x⁶ : x⁵ = 1

   x     = 1

c, x² = 4

    x² = 2²

   x = +- 2

C = 1 + 3 + 5 + .....+ 19

khoảng cách của dãy số: 3-1 = 2

số số hạng: (19-1):2+1 = 10

tổng C = (1+19)x 10 : 2 = 100

đs...

\(C=1+3+5+...+19\)

Khoảng cách giữa 2 số hạng là: \(3-1=2\)

Số số hạng là: \(\dfrac{19-1}{2}+1=10\)

Vậy \(C=\dfrac{\left(1+19\right).10}{2}=100\)

63 = 3² . 7

90 = 2.3².5

ƯCLN (63; 90) = 3² = 9

cách 2 :

Ư(63) ={ 1; 7; 9; 63}

Ư(90) = { 1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}

ƯCLN(63, 90) = 9

9ok