\(x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=\frac{5}{4}\left(ĐKXĐ:x\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-2x.\frac{x}{x+1}=\frac{5}{4}-\frac{2x^2}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2=\frac{5}{4}-\frac{2x^2}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2=\frac{5}{4}-\frac{2x^2}{x+1}\)

Đặt \(\frac{x^2}{x+1}=a\), phương trình trở thành:

\(a^2=\frac{5}{4}-2a\)\(\Leftrightarrow a^2+2a-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{4}+\frac{8a}{4}-\frac{5}{4}=\frac{0}{4}\)

\(\Rightarrow4a^2+8a-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+5\right)\left(2a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2a+5=0\\2a-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-\frac{5}{2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

-Với \(a=-\frac{5}{2}\)thì:

\(\frac{x^2}{x+1}=-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2}{2\left(x+1\right)}=\frac{-5\left(x+1\right)}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow2x^2=-5\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+5\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+5x+5=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2+\frac{15}{8}=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\frac{5}{4}\right)=-\frac{15}{8}\)(vô nghiệm)

-Với \(a=\frac{1}{2}\)thì:

\(\frac{x^2}{x+1}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2}{2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow2x^2=x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-0,5\left(TMĐKXĐ\right)\\x=1\left(KTMĐKXĐ\right)\end{cases}}\Leftrightarrow x=-0,5\)( TMĐKXĐ : thỏa mãn điều kiện xác định ; K : không)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=-0,5\).

a, \(\frac{3}{x-1}=\frac{3x+2}{1-x^2}-\frac{4}{x+1}ĐK:x\ne\pm1\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{3x+2}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}-\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-3x-2-4x+4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow3x+3=-7x+2\)

\(\Leftrightarrow10x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{10}\)( tmđk )

Vậy tập nghiệm phương trình là : \(S=\left\{-\frac{1}{10}\right\}\)

b, \(x^2-9=\left(x+3\right)\left(1-x\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+3\right)=\left(x+3\right)\left(1-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-3-1+x\right)=0\Leftrightarrow x=-3;x=\frac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-3;\frac{1}{2}\right\}\)

Trả lời:

a, \(\frac{3}{x-1}=\frac{3x+2}{1-x^2}-\frac{4}{x+1}\)\(\left(đkxđ:x\ne\pm1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{x-1}=\frac{-3x-2}{x^2-1}-\frac{4}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-3x-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow3x+3=-3x-2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow3x+3=-7x+2\)

\(\Leftrightarrow3x+7x=2-3\)

\(\Leftrightarrow10x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{10}\)(tm)

Vậy \(S=\left\{\frac{-1}{10}\right\}\)

\(\frac{x+1}{x-2}-\frac{3-x}{x+2}=\frac{2\left(x^2-2\right)}{x^2-4}\left(ĐKXĐ:x\ne\pm2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-2}+\frac{x-3}{x+2}=\frac{2\left(x^2-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{2\left(x^2-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(x-3\right)\left(x-2\right)=2\left(x^2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x+2+x^2-5x+6=2x^2+4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x-2x^2=4-8\)

\(\Leftrightarrow-2x=-4\)

\(\Leftrightarrow x=2\)(không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\frac{x+1}{x-2}-\frac{3-x}{x+2}=\frac{2\left(x^2-2\right)}{x^2-4}\)ĐK : \(x\ne\pm2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)-\left(3-x\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{2x^2-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow x^2+3x+2-3x+6+x^2-2x=2x^2-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x+8=2x^2-4\Leftrightarrow-2x+12=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-6\right)=0\Leftrightarrow x=6\)( tmđk )

Vậy tập nghiệm của phương trình S= { 6 } 

a) Xét \(\Delta ABH\)có BI là phân giác của \(\widehat{ABH}\)(vì BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow\frac{IA}{IH}=\frac{BA}{BH}\)(tính chất)

\(\Rightarrow IA.BH=IH.AB\)(diều phải chứng minh)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta HBA\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CBA}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta ABC\approx\Delta HBA\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)

\(P=\frac{x}{\left(x+2009\right)^2}\left(x\ne-2009\right)\)

Vì \(x\ne-2009\)nên đặt \(x+2009=a\left(a\ne0\right)\)thì \(x=a-2009\). Lúc đó:

\(P=\frac{a-2009}{a^2}=\frac{1}{a}-\frac{2009}{a^2}=-2009\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{2009a}\right)\)

Lại đặt \(\frac{1}{a}=b\). Lúc đó:

\(P=-2009\left(b^2-\frac{1}{2019}.b\right)=-2009\left[\left(b^2-2.b.\frac{1}{4018}+\frac{1}{4018^2}\right)-\frac{1}{4018^2}\right]\)

\(P=-2009\left(b-\frac{1}{4018}\right)^2+\frac{1}{4.2009}\)

Ta có:

\(\left(b-\frac{1}{4018}\right)^2\ge0\forall b\Rightarrow2009\left(b-\frac{1}{4018}\right)^2\ge0\forall b\)\(\Rightarrow-2009\left(b-\frac{1}{4018}\right)^2\le0\forall b\)

\(\Rightarrow-2019\left(b-\frac{1}{4018}\right)^2+\frac{1}{4.2009}\le\frac{1}{4.2009}\forall b\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4.2009}=\frac{1}{8036}\)

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow b-\frac{1}{4018}=0\Leftrightarrow b=\frac{1}{4018}\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{4018}\Leftrightarrow a=4018\Leftrightarrow x+2009=4018\)

\(\Leftrightarrow x=2009\)(thỏa mãn điều kiện đề bài)

Vậy \(maxP=\frac{1}{8036}\Leftrightarrow x=2009\)

\(x^2+2y^2+2xy=y+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=y-y^2+2\)

Có \(VT\ge0\Leftrightarrow VP\ge0\Leftrightarrow-y^2+y+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(2-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-1\le y\le2\).

Lần lượt ta xét các giá trị của \(y\)ta được các giá trị thỏa mãn là: \(\left(1,-1\right),\left(-2,2\right)\).

Gọi quãng đường AB có độ dài : S (S > 0)

=> Thời gian đi A -> B : \(\frac{S}{30}\)(h)

=> Thời gian về B -> A \(\frac{S}{20}\)(h)

Tổng thời gian đi là 4,5 giờ

Ta có  phương trình \(\frac{S}{30}+\frac{S}{20}=4,5\)

<=> \(S\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{20}\right)=4,5\)

<=> \(S.\frac{1}{12}=4,5\)

<=> S =54 km (tm)

Vậy quãng đường AB có độ dài : 54 km

Gọi quãng đường AB là x ( x \(\in\)N^*, km )

Thời gian ô tô đi từ A -> B là : \(\frac{x}{30}\)giờ 

Thời gian ô tô đi từ B -> A là : \(\frac{x}{20}\)giờ 

Thời gian đi và về mất 4 giờ 4 giờ 30 phút = 9/2 giờ

nên ta có phương trình \(\frac{x}{30}+\frac{x}{20}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{20x+30x}{600}=\frac{2700}{600}\)

\(\Rightarrow50x=2700\Leftrightarrow x=54\)km 

Vậy Quảng đường AB là : 54 km 

Một tham số là một đối số của một hàm toán học.

Tham số (parameter) là phần hằng số hay giá trị không đổi trong một phương trình, có tá dụng cụ thể hóa mối quan hệ chính xác giữa các biến số.